ЗАНЯТИЕ 8. Поверхности 2-го порядка. Канонические уравнения поверхностей 2-го порядка

☺ ☻ ☺

Пример 1 – 346: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: .

Решение:

1). Задано каноническое уравнение сферы.

2). Центр сферы находится в начале координат (0,0,0). Радиус сферы: =2.

Ответ: сфера с центром в точке (0,0,0), радиуса 2.

Пример 2 – 372: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.

Решение:

1). Задано каноническое уравнение трёхосного эллипсоида.

2). Центр фигуры находится в точке (0,0,0), причём: =3, =2, =5.

3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 27 в ответах задачника (внимательно посмотрите!).

Ответ: трёхосный эллипсоид с центром в точке (0,0,0), при: =3, =2, =5.

Пример 3 – 374: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.

Решение:

1). Задано каноническое уравнение двуполостного гиперболоида вращения, ось вращения .

2). Центр геометрической фигуры находится в точке (0,0,0). При этом: = = =1.

3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 28 б) в ответах задачника (внимательно посмотрите!).

Ответ: двуполостный гиперболоид вращения с центром (0,0,0), при = = =1.

Пример 4 – 376: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.

Решение:

1). Задано каноническое уравнение параболоида вращения, ось вращения .

2). Центр геометрической фигуры находится в точке (0,0,0), причём: = =1, = .

3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 30 а) в ответах задачника (внимательно посмотрите!).

Ответ: параболоид вращения: центр в точке (0,0,0); = =1 и не определено.

Пример 5 – 378: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.

Решение:

1). Имеем каноническое уравнение эллиптического параболоида, ось вращения .

2). Центр геометрической фигуры в точке (0,0,0), При этом: =1, = и =1.

3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 30 а) в ответах задачника (внимательно посмотрите!).

Ответ: эллиптический параболоид, центр в точке (0,0,0), при: =1, = и =1.

Пример 6 – 380: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.

Решение:

1). Задано уравнение параболоида вращения, ось вращения .

2). Центр геометрической фигуры в точке (0,0,2), при этом: = =1 и = .

3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 30 а) в ответах задачника (внимательно посмотрите!).

Ответ: параболоид вращения с центром в точке (0,0,2), при: = =1 и = .

Пример 7 – 382: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.

Решение:

1). Перепишем уравнение: – это каноническое уравнение однополостного гиперболоида вращения, ось вращения .

2). Центр геометрической фигуры находится в точке (0,0,0), При этом: = = =2.

3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 28 а) в ответах задачника (внимательно посмотрите!).

Ответ: однополостный гиперболоид вращения с центром (0,0,0), при: = = =2.

Пример 8 – 396: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.

Решение:

1). Задано каноническое уравнение параболического цилиндра, образующая параллельна .

2). Центр геометрической фигуры находится в точке (0,0,0), При этом: =3.

3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 31 в) с соответствующей заменой оси на ось (только по-честному!).

Ответ: параболический цилиндр, =3.

•◄ Дополнительно ►•

Пример 9 – 371. Составить уравнение окружности, проходящей через три точки: =(3,–1,–2), =(1,1,–2) и =(–1,3,0).

Решение:

Алгоритм:

1) строим серединные перпендикуляры к сторонам треугольника и в виде прямых линий и ;

2) находим центр окружности = ;

3) вычисляем радиус окружности и сферы, которая будет содержать искомую окружность;

4) находим уравнение сферы радиуса с центром в точке и уравнение плоскости, содержащей заданные точки ;

5) строим систему уравнений для сферы и плоскости – это и будет искомая окружность в пространстве .

Реализуем принятый алгоритм:

1). Найдём координаты точек и . Из равенства = получаем (2,0,–2), из равенства = получаем (0,2,–1). Для прямых и строим векторы нормалей: = =(–1,1,0), = =(–1,1,1). Запишем уравнение : , также запишем : .

2). Находим координаты точки из системы: откуда (2,0,3).

3). Вычисляем радиус окружности (и сферы): = = . Записываем уравнение сферы с центром в точке радиуса : .

4). Строим вектор нормали плоскости , содержащей заданные точки: = = , или =(1,1,0). Записываем уравнение с учётом условия , именно : .

5). Записываем уравнение окружности в пространстве: как пересечение плоскости со сферой.

Ответ: окружность в пространстве: .

☻

Вопросы для самопроверки:

1. Как получают поверхности вращения 2-го порядка?

2. Как получают канонические уравнения поверхностей 2-го порядка?

3. Как применяют «метод сечений» для исследования поверхностей 2-го порядка?

4. Что такое «гиперболический параболоид», как получают его уравнение?

5. Мог ли инженер Гарин, используя гиперболоид, плавить руду и добывать золото?

6. Чем примечательна конструкция Останкинской телебашни?

< * * * * * >

Задачи для самоподготовки:

Пример C8 – 1: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: .

Ответ: сфера с центром в точке (2,0,–1), радиуса 4.

Пример C8 – 2: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.

Ответ: однополостный гиперболоид с центром в точке (0,0,0), при: =4, =2, =6.

Пример C8 – 3: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.

Ответ: конус вращения с центром в точке (0,0,0), при = = =1.

Пример C8 – 4: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.

Ответ: параболоид гиперболический с центром (0,0,0), при: = =1 и не определено.

Пример C8 – 5: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.

Ответ: параболический цилиндр, образующая параллельна , не определено.

Пример C8 – 6: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.

Ответ: параболоид гиперболический с центром (0,0,0), при: = , =2 и =3.

Пример C8 – 7: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.

Ответ: двуполостный гиперболоид вращения с центром в точке (0,0,0), при: = = =2.

Пример C8 – 8: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.

Ответ: параболический цилиндр, образующая параллельна , =– .

< * * * * * >

Дата добавления: 2014-12-26