ЗАНЯТИЕ 7. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Общие свойства кривых второго порядка. 1 страница

☺ ☻ ☺

Окружность: основные определения и формулы:

Если точка – произвольная точка плоскости, а точка – фиксированная точка, то = – векторная форма записи окружности, в координатной форме уравнение окружности имеет вид:

→ нормальное уравнение. (1)

Если центр окружности находится в начале координат (0,0), то уравнение (1) принимает простейший вид: → каноническое уравнение. (2)

Если вместо выражения (1) имеем равенство: , то нетрудно получить выражение: . (3)

В зависимости от величины Е могут реализоваться такие случаи:

1). > 0, то есть → окружность: .

2). = 0 → , выполняется для одной точки (x₀,y₀).

3). < 0, то есть → – мнимая окружность.

••• ≡ •••

Пример 1 – 242: Пусть – центр окружности, – радиус окружности, , , , – точки окружности. Составить уравнение окружности в каждом из следующих случаев:

1) (2,–3), =7; 2) (2,6), (–1,2); 3) (3,2), (–1,6) – концы диаметра окружности; 4) (1,–1), прямая линия : =0 касается окружности; 5) (1,2) – точка окружности, окружность касается координатных осей; 6) (3,1), (–1,3) – точки окружности, принадлежит прямой : =0; 7) (–1,3), (0,2), (1,–1) – точки окружности.

Решение:

1). Сразу записываем уравнение окружности: .

2). Из условия имеем: = =(2,6)–(–1,2)=(3,4) → = =5. Тогда уравнение окружности: .

3). Так как центр окружности делит заданный отрезок пополам, то = , откуда: 2 = + =(2,8) → =(1,4). В то же время = =(–4,–4) → =2 . Тогда уравнение окружности: .

4). Радиус окружности равен расстоянию до касательной. Нормируем уравнение прямой линии и находим отклонение точки от этой прямой: = =2 → =2. Тогда – уравнение окружности.

5). Обозначим радиус окружности = . Учитывая свойство касания окружности осей координат, запишем уравнение окружности: . Так как точка принадлежит окружности, то необходимо: . Из уравнения получаем два корня: =1 и =5. Решение: или .

6). Точки (3,1) и (–1,3) выделяют на окружности хорду . Известна теорема, что прямая линия , проходящая через середину хорды окружности и ей перпендикулярная, проходит через центр этой окружности.

Найдём уравнение . Из равенства 2 = находим (1,2). Запишем =(–2,1)= . Тогда уравнение : , или .

Точку пересечения прямых линий и найдём из системы уравнений: находим координаты центра (2,4). Радиус окружности: = = = . Тогда: – уравнение искомой окружности.

7). Найдём уравнение . Из равенства 2 = находим . Запишем = , примем =(3,–1). Тогда уравнение : , или .

Найдём уравнение . Из равенства векторов = имеем 2 = , находим . Запишем = , примем =(1,–3). Тогда уравнение : , или .

Точку пересечения прямых линий и найдём из системы уравнений: → (–4,–1). Радиус окружности: = = =5. Тогда: – уравнение искомой окружности.

Ответ: 1) , 2) , 3) ,

4) , 5) , 6) ,

7) .

☺ ☻ ☺

Эллипс: геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Если принять, что – большая полуось, то фокусы эллипса располагаются на оси , причём: = – левый фокус, = – правый фокус.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид: , – большая полуось, – малая полуось. Величины , , связаны соотношением: = – .

Важной характеристикой эллипса является величина: – эксцентриситет, которая определяет степень сжатия окружности вдоль оси .

Для вычисления расстояний до фокусов используют выражения: = , = , причём + =2 .

Особое место в свойствах эллипса занимают прямые линии: и – директрисы. Положение директрис определяет число: .

••• ≡ •••

Пример 2 – 246: Задано уравнение линии второго порядка: . Показать, что линия есть эллипс, записать его каноническое уравнение. Найти: а) полуоси, б) координаты фокусов, в) эксцентриситет, г) уравнения директрис.

Решение:

1). Перепишем уравнение: – это каноническое уравнение эллипса с фокусами, расположенными на оси .

2). Полуоси эллипса: =5, =3. Вычислим: = – =16. Это значит: = – левый фокус, = – правый фокус. Вычислим эксцентриситет: = = . Вычислим параметр директрисы: = = . Уравнения директрис : =– , : = .

Ответ: а) уравнение эллипса , =5, =3; б) фокусы = , = ; в) эксцентриситет = ; г) директрисы : =– , : = .

Пример 3 – 252: Главные оси эллипса совпадают с осями координат. Точки и (0,2) принадлежат эллипсу. Написать уравнение эллипса, найти фокальные радиусы точки и расстояние этой точки до директрис.

Решение:

1). Воспользуемся уравнением: . Обозначив (для удобства!): = и = , для точек и запишем систему: откуда = и = . Можем записать уравнение эллипса: . Причём, = – =12 и тогда запишем = .

2). Вычислим фокальные радиусы для точки , принадлежащей эллипсу: именно = = . = .

3). По определению директрисы, расстояние точки до левой директрисы вычисляем как = = , а до правой как = = .

Ответ: уравнение эллипса , фокальные радиусы = , = ; расстояния до директрисы : = , до директрисы : = .

Пример 4 – 254: Написать уравнение кривой, по которой движется точка , если сумма расстояний от неё до точек (–1,–1) и (1,1) остаётся постоянной и равна .

Решение:

1). Расстояние от точки до точки определяется выражением: = , а до точки выражением: = . По условию : = .

2). Выполнив тождественные преобразования выражения , окончательно запишем уравнение кривой линии, по которой движется точка , именно : .

Ответ: уравнение кривой линии : .

☺ ☻ ☺

Гипербола: геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютное значение разности расстояний до двух данных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами:

Пусть фокусы гиперболы располагаются на оси , причём: = – левый фокус, = – правый фокус. Каноническое уравнение гиперболы имеет вид: , причём < и . Эксцентриситет гиперболы: . Фокальные расстояния определяются выражениями:

– левая ветвь → ( – ) =–2 .

– правая ветвь → ( – ) =2 .

Дата добавления: 2014-12-26