![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Метод итераций. Дана система, состоящая из n линейных уравнений с n неизвестными:
Дана система, состоящая из n линейных уравнений с n неизвестными:
Обозначим через Тогда систему (3.1) можно записать в виде матричного уравнения
Решением системы будут числа x1, x2, …, xn. Определитель системы не равен нулю. Предполагая, что диагональные коэффициенты
где Введем в рассмотрение матрицы:
Тогда систему можем записать в матричном виде:
Заметим, что систему (3.1) можно приводить к виду (3.2) любыми линейными преобразованиями. Систему (3.2) будем решать методом последовательных приближений, используя матричную запись. За нулевое приближение принимаем, например, столбец свободных членов: Любое (k+1)-ое приближение вычисляют по формуле:
Если последовательность приближений Напишем формулы приближений в развернутом виде: Метод итераций – метод последовательных приближений. Процесс итерации хорошо сходится, т.е. число приближений, необходимых для получения корней системы с заданной точностью, невелико, если элементы матрицы a малы по абсолютной величине. Иными словами, для успешного применения процесса итерации модули диагональных коэффициентов системы должны быть велики по отношению к модулям недиагональных коэффициентов этой системы. Свободные члены при этом роли не играют. Выясним, при каких достаточных условиях последовательность приближений Теорема 3.1 Если для приведенной системы выполнено, по меньшей мере, одно из условий:
то процесс итерации сходится к единственному решению этой системы, независимо от выбора начального приближения. В теореме (3.1) - «с» это значение максимальной суммы модулей элементов в строках, а «d» в столбцах матрицы α. Эти числа называют нормой матрицы α по строкам и по столбцам соответственно. Следствие из теоремы (3.1). Для приведенной системы полученной из системы
т.е. модули диагональных коэффициентов системы больше суммы модулей всех остальных коэффициентов.
Дата добавления: 2014-12-26; Просмотров: 432; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |