КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Метод итерацийМетод секущих Модифицированный метод Ньютона
Если производная мало изменяется на отрезке [a,b] то в формуле можно положить . Отсюда для корня уравнения получаем последовательные приближения по формуле (n=0,1,…)..
Рис.2.9. Модифицированный метод Ньютона
Оценка точности делается, как в методе Ньютона.
Заменим производную функции f(x) в точке xn на функцию F(x) в этой же точке. Подставим ее вместо производной в формулу Ньютона. , . В методе секущих требуются задать для начала счета два значения x0 и x1 . Отрезок [x0, x1] не обязательно должен содержать корень уравнения. Оценка точности делается, как в обыкновенном методе Ньютона
Пусть дано уравнение , (2.1) где - непрерывная функция. Заменим его равносильным уравнением . (2.2) Выберем каким-либо способом приближенное значение корня и подставим его в правую часть уравнения (2). Получим некоторое число . Повторим данную процедуру с x1, получим . Повторяя описанную процедуру, будем иметь последовательность чисел: , где n=1,2,…. (2.3) Пусть у этой последовательности существует предел . Перейдем к пределу в равенстве (2.3). Предполагая функцию φ(х) непрерывной, найдем: или . Таким образом, предел является корнем уравнения и может быть вычислен по формуле (2.3) с любой степенью точности. На рисунке дана геометрическая интерпретация метода итераций в зависимости от знака производной функции φ(х).
Рис 2.10 φ'(х) > 0. Рис.2.11 φ'(х) < 0
Достаточное условие сходимости процесса итераций определяется в следующей теореме. Теорема 2.3: Пусть функция определена и дифференцируема на отрезке , причем все ее значения . Тогда, если существует правильная дробь q такая, что при , то 1. процесс итерации (n=1,2,..) сходится независимо от начального значения ; 2. предельное значение является единственным корнем уравнения на отрезке при .
Для оценки погрешности приближения xn получается формула: , где ; а на [ a,b ] При заданной точности ответа ε итерационный процесс прекращается, если . Если q<|0.5| , то . Сходимость итерационной последовательности определяется видом функции φ(х). Преобразование к виду (2.2) можно провести различными способами. Чтобы обеспечить сходимость, можно искать решение в виде , (2.4) где k-целое число. Уравнение (2.4) это уравнение (2.1) с . Оно равносильно исходному уравнению (2.1). Для сходимости метода итераций по теореме 2.3 необходимо, чтобы . Дифференцируем φ(х) и получаем . Решаем неравенство : . Чтобы условие сходимости выполнялось на всем промежутке [ a,b ], нужно взять , где . Итак, если выполняются условия то метод итераций сходится для уравнения
Пример 2.6. Методом итераций найти корень уравнения на промежутке (-10,-9,6) с четырьмя знаками после запятой.
По значению производной f(x) выбираем положительное k В качестве начального приближения выберем левый конец промежутка. Сделаем шесть итераций.
Так как значения производной φ(x) по модулю меньше 0.5, то оцениваем точность вычислений по формуле
Корень уравнения x = -9.98071 найден с точностью 0.000038
Рис. 2.12. Вычисления в Mathcad, реализующие метод итераций для примера 2.6 Глава 3. Решения систем линейных алгебраических уравнений
В вычислительной математике используется два класса численных методов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): 1. Прямые (или точные) методы, позволяющие найти решение за определенное количество шагов. К ним относятся метод Гаусса, метод Крамера, метод Халецкого и другие. 2. Итерационные методы, основанные на использовании повторяющегося процесса и позволяющие получить решение в результате последовательных приближений. К ним относятся метод итераций, метод Зейделя, метод релаксаций и другие.
Дата добавления: 2014-12-26; Просмотров: 837; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |