Бесконечно малые и бесконечно большие функции. 1 страница

План.

План.

План.

План.

План.

План.

План.

1. Векторное произведение векторов, его свойства и геометрический смысл.

2. Смешанное произведение векторов, его свойства, геометрический смысл.

3. Различные виды уравнения прямой на плоскости.

4. Вычисление угла между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых.

5. Вычисление расстояния от данной точки до заданной прямой.

Методические рекомендации к занятию. При изучении данной темы важно научиться находить векторное произведение векторов двумя способами: непосредственно по определению и с помощью координат векторов. Особенно важными являются геометрические приложения векторного и смешанного произведения векторов.

Контрольные вопросы

1. В каком случае тройка векторов называется правой?

2. Что называется векторным произведением вектора на вектор ?

3. Сформулируйте необходимое и достаточное условие коллинеарности двух ненулевых векторов.

4. Какие свойства векторного произведения вы знаете?

5. Какая формула позволяет найти векторное произведение векторов, заданных своими координатами?

6. Что называется смешанным произведением векторов ?

7. В чём состоит геометрический смысл абсолютной величины смешанного произведения трех некомпланарных векторов?

8. Чему равно смешанное произведение векторов, заданных своими координатами?

9. В чём состоит необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов, заданных своими координатами?

10. Запишите уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Во всех ли случаях это уравнение справедливо?

11. Какой вид имеет уравнение прямой в отрезках?

12. Что называется углом наклона прямой, угловым коэффициентом прямой?

13. Как записывается уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом?

14. Что называется направляющим вектором прямой?

15. Какой вид имеет каноническое уравнение прямой с заданным направляющим вектором?

16. Что называется нормальным вектором прямой?

17. Какой вид имеет уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору?

18. Какое уравнение называется общим уравнением прямой?

19. В каком случае прямая, заданная общим уравнением: а) проходит через начало координат; б) параллельна оси Ох; в) параллельна оси Оу?

20. Какой вид имеет формула для нахождения косинуса угла между двумя прямыми, заданными общими уравнениями?

21. Для прямых, заданных общими уравнениями, запишите: а) условие их перпендикулярности; б) условие их параллельности; в) условие их пересечения.

22. Какой вид имеет формула для нахождения расстояния от данной точки до заданной прямой?

Практические задания, выполняемые на занятии

6.1. Выяснить, является ли тройка векторов правой или левой, если образуют правую тройку: а) , , ;

б) , , .

6.2. Найти и изобразить вектор , если: а) , ;

б) ; .

6.3. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , .

6.4. Даны векторы , , , . Вычислить:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ;

7) .

6.5. Найти площадь треугольника с вершинами в точках , и .

6.6. Даны вершины параллелограмма: , , , . Вычислить его площадь и высоты.

6.7. Векторы , образующие правую тройку, взаимно перпендикулярны. Зная, что , вычислить .

6.8. Найти смешанное произведение векторов , , .

6.9. Установите, компланарны ли векторы , , .

6.10. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах:

а) , , ; б) , , .

6.11. Определите, лежат ли в одной плоскости следующие четыре точки:

а) , , , ;

б) , , , .

6.12. Составить уравнение прямой, проходящей через две данные точки: а) и ; б) и .

6.13. Записать уравнение прямой в отрезках: а) ; б) .

6.14. Даны последовательные вершины выпуклого четырехугольника: , , , . Найти точку пересечения его диагоналей.

6.15. Составить уравнение прямой, проходящей через точку , если площадь треугольника, ограниченного прямой и осями координат, равна 16.

6.16. Постройте прямую, проходящую через точку перпендикулярно вектору .

6.17. Среди прямых выделите ту прямую, которая перпендикулярна вектору .

6.18. Дана прямая . Составить уравнение прямой, проходящей через точку : а) параллельную данной прямой; б) перпендикулярную данной прямой.

6.19. Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами , , .

6.20. Даны вершина треугольника , и . Составить уравнение его высот.

6.21. Вычислить угол между прямыми:

а) и ;

б) и ;

в) и ;

г) и ;

д) и .

6.22. Среди следующих пар прямых укажите параллельные или перпендикулярные прямые:

а) и ;

б) и ;

в) и ;

г) и .

6.23. Даны вершины треугольника , , . Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины на медиану, проведенную из .

6.24. Дана прямая . Найти расстояние до этой прямой от начала координат.

6.25. Найти расстояние от данной точки до данной прямой: , .

6.26. Составить уравнение биссектрис углов между прямыми и .

6.27. Площадь треугольника равна 8, две его вершины , , третья вершина лежит на прямой . Определить координаты вершины С.

6.28. ^* Составить уравнение сторон треугольника, зная одну из его вершин , а также уравнение высоты и медианы , проведенных из различных вершин.

Задания для самостоятельной работы

6.29. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , где , , .

6.30. Вычислить площадь треугольника с вершинами , , .

6.31. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках , , , и его высоту, опущенную из вершины на грань .

6.32. Составить уравнение биссектрисы того угла между двумя прямыми и , в котором лежит точка .

6.33. Даны три вершины параллелограмма: , , . Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины на сторону .

6.34. Даны две вершины треугольника: , . Его высоты пересекаются в точке . Найти третью вершину .

Практическое занятие № 7 (2 часа).

Тема: Уравнения плоскости. Прямая в пространстве.

1. Различные виды уравнения плоскости.

2. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

3. Вычисление расстояния от данной точки до заданной плоскости.

4. Угол между прямой и плоскостью.

5. Различные виды уравнения прямой в пространстве.

6. Угол между двумя прямыми.

7. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Методические рекомендации к занятию. При изучении данной темы студентам необходимо твердо знать различные виды уравнений плоскости и прямой в пространстве, уметь находить угол между плоскостями, угол между прямой и плоскостью, угол между прямыми. Необходимо уметь выводить условие параллельности и перпендикулярности плоскостей, условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Контрольные вопросы

1. Записать уравнение плоскости, проходящей через три данные точки?

2. Что называется нормальным вектором плоскости?

3. Запишите уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору.

4. Какой вид имеет общее уравнение плоскости? Что представляют собой коэффициенты при переменных в общем уравнении плоскости?

5. Какой вид имеют уравнения прямой, проходящей через две данные точки?

6. Что называется направляющим вектором прямой?

7. Какой вид имеют канонические уравнения прямой? Как записываются канонические уравнения прямой в том случае, когда одна из координат направляющего вектора прямой равна нулю?

Практические задания, выполняемые на занятии

7.1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , и .

7.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

7.3. Даны точки и . Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

7.4. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точки и параллельно вектору .

7.5. Найти угол между плоскостями: , .

7.6. Вычислить расстояние от начала координат до плоскости .

7.7. Составить уравнения прямой, проходящей через точки и .

7.8. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору .

7.9. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору .

7.10. Среди следующих пар прямых и плоскостей указать параллельные или перпендикулярные; в случае пересечения прямой и плоскости найти точку пересечения:

а) и ;

б) и ;

в) и .

7.11. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно прямым и .

7.12. Найти канонические уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости .

7.13. Записать уравнения прямой в каноническом виде .

7.14. Составить канонические уравнения прямой , заданной системой уравнений . Записать параметрические уравнения прямой , которая проходит через точку и параллельна прямой .

7.15. Найти угол между прямыми и .

7.16. Найти точку пересечения прямой с плоскостью .

Задания для самостоятельной работы

7.17. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки и перпендикулярно плоскости .

7.18. Записать уравнения прямой в каноническом виде .

7.19. Найти точку N симметричную точке относительно плоскости .

Практическое занятие № 8 (2 часа).

Тема: Кривые второго порядка. Полярная система координат наплоскости.

1. Общее уравнение кривых второго порядка.

2. Эллипс.

3. Гипербола.

4. Парабола.

5. Полярная система координат.

Методические рекомендации к занятию. В данной теме студентам необходимо знать определение кривых второго порядка, уметь определять их инвариантные точки и прямые, знать канонические уравнения.

Студенты должны уметь строить кривые второго порядка, как в прямоугольной системе координат, так и в полярной. Необходимо знать формулы, связывающие координаты точки в полярной системе координат с координатами этой точки в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью.

Контрольные вопросы

1. Какие кривые называются кривыми второго порядка?

2. Что называется эллипсом?

3. Какие точки плоскости называются фокусами эллипса? Сколько фокусов у эллипса? Как называется расстояние между фокусами?

4. Какой вид имеет каноническое уравнение эллипса?

5. Какие точки эллипса называются его вершинами?

6. Что называется полуосями эллипса?

7. Что называется гиперболой?

8. Какие точки плоскости называются фокусами гиперболы? Сколько фокусов у гиперболы? Как называется расстояние между фокусами?

9. Какой вид имеет каноническое уравнение гиперболы?

10. Какие токи гиперболы называются её вершинами?

11. Что называется действительной и мнимой осью гиперболы? Что называется полуосями гиперболы?

12. Какие прямые называются асимптотами гиперболы?

13. Что называется параболой?

14. Какая точка плоскости называется фокусом параболы? Что называется директрисой параболы? Что называется фокальным параметром параболы?

15. Какой вид имеет каноническое уравнение параболы?

16. Что называется вершиной параболы?

17. Как задается полярная система координат на плоскости?

18. Что называется полюсом? Что называется полярной осью?

19. Чем определяются координаты точки в полярной системе координат?

20. Что такое полярный радиус и полярный угол?

21. Как связаны между собой координаты точки в прямоугольной декартовой системе координат и в полярной, полюс которой совпадает с началом системы координат, а полярная ось с положительной полуосью абсцисс?

Практические задания, выполняемые на занятии

8.1. Доказать, что уравнение является уравнением окружности. Найти её цент и радиус.

8.2. Найти уравнение окружности, симметричной с окружностью относительно прямой .

8.3. Найти каноническое уравнение эллипса, зная его большую полуось и эксцентриситет .

8.4. Доказать, что уравнение является уравнением эллипса. Найти координаты фокусов и фокальное расстояние.

8.5. Написать каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точку , если фокальное расстояние гиперболы равно 20.

Дата добавления: 2014-12-26