Бесконечно малые и бесконечно большие функции. 4 страница

6. Что называется пределом числовой последовательности?

7. Какая последовательность называется сходящейся, а какая – расходящейся?

8. В чём заключается необходимое условие существования предела последовательности?

9. Сколько пределов может иметь последовательность?

10. Какая последовательность называется бесконечно малой?

11. В чём состоит необходимое и достаточное условие того, чтобы число было пределом последовательности ?

12. Какие теоремы о пределах, связанные с арифметическими действиями, вы знаете?

13. Какая последовательность называется бесконечно большой?

14. Какова связь между бесконечно большой и бесконечно малой последовательностями?

15. Как формулируется теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности (теорема Вейерштрасса)?

Практические задания, выполняемые на занятии

15. 1. Запишите первые шесть членов последовательности:

а) ; б) ; в) .

15. 2. Запишите первые шесть членов последовательности:

а) , ; б) , ; в) , .

15.3. Напишите формулу общего члена последовательности, первые пять членов, которой известны:

а) , , , , , …;

б) , , , , , …;

в) 1, , , , , …..

15.4. Установите, какие из последовательностей являются монотонными, а какие немонотонными:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

е) ; ж) ; и) ; к) .

15.5. Доказать, что

а) ; б) ; в) .

15.6. Установить, какая из последовательностей сходится, а какая расходится:

а) ; б) ; в) .

15.7. Найти предел:

а) ; б) ; в) ; г) .

15.8. Установите, какое из высказываний истинно:

а) если последовательность не ограничена, то она не имеет предела;

б) если последовательность имеет предел, то она ограничена;

в) если последовательность не монотонна, то она не имеет предела;

г) если последовательность имеет предел, то она монотонна.

15.9. Выяснить, существует ли предел последовательности, если существует, то найти его:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Задания для самостоятельной работы

15.10. Доказать, что

а) ; б) ; в) .

15.11. Установить, какая из последовательностей сходится, а какая расходится:

а) ; б) ; в) .

15.12. Найти предел:

а) б) ; в) ; г) .

15.13. Выяснить, существует ли предел последовательности, если существует, то найти его:

а) ; б) ; в) ; г) ; д)* .

Практическое занятие № 16 (2 часа).

Тема: Предел функции в бесконечности и в точке.

План:

1. Предел функции в точке.

2. Предел функции в бесконечности.

Методические рекомендации к занятию. В данной теме понятие предела рассматривается для функций: в бесконечности и в точке . Для выяснения смысла этих операций необходимо использовать их геометрическую интерпретацию. Весьма важными являются понятий бесконечно малых и бесконечно больших функций, суть которых сводится к тому, что при своем изменении бесконечно малая (по абсолютной величине) будет меньше любого как угодно малого положительного числа , а бесконечно большая будет больше любого как угодно большого числа .

Нужно знать взаимосвязь бесконечно малых и бесконечно больших функций, свойства бесконечно малых, с помощью которых доказываются теоремы о пределах. Следует обратить внимание на признаки существования предела.

Контрольные вопросы

1. Что называется пределом функции в точке?

2. Сколько пределов может иметь функция в точке?

3. Сформулируйте теорему о пределе суммы (разности), произведении и отношении двух функций.

4. Что называется левосторонним пределом функции в точке?

5. Что называется правосторонним пределом функции в точке?

6. Какова связь между односторонними пределами и пределом функции в точке?

7. Что называется пределом функции в бесконечности (при )?

8. Какая функция называется бесконечно малой?

9. Какая функция называется бесконечно большой?

10. Какие свойства выполняются для бесконечно малых функций?

11. Какие свойства выполняются для бесконечно больших функций?

12. Какова связь между бесконечно большой и бесконечно малой функциями?

13. Какова связь между бесконечно малой функцией и функцией, имеющей предел?

Практические задания, выполняемые на занятии

16.1. Доказать, пользуясь определением предела, что предел постоянной функции равен этой же постоянной, т.е. .

16.2. Доказать, что функция не имеет предела при .

16.3. Доказать справедливость равенств:

а) ; б) ; в) .

16.4. Найти пределы функции:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ; 10) .

16.5. Найти односторонние пределы функции в точке .

16.6. Для заданной функции выяснить существование предела в точках , , , :

а) ;

б) ;

в) .

16.7. Найти левый и правый пределы функции в точке .

16.8. Найти пределы функции:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) .

16.9. Найти и , где .

16.10. Вычислить пределы:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ;

8) ; 9) ; 10) .

Задания для самостоятельной работы

16.11. Доказать, пользуясь определением предела, что .

16.12. Найти пределы функции:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ;

8) ; 9) ;10) .

16.13. Для заданной функции выяснить существование предела в точках , , , :

а) ;

б) ;

в) .

16.14. Найти левый и правый пределы функции в точке .

16.15. Найти пределы функции:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ;

8) ; 9) ; 10) .

16.16. Найти и , где .

16.17. Вычислить пределы:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) .

Практическое занятие № 17 (2 часа).

Тема: Первый и второй замечательные пределы.

План:

1. Первый замечательный предел.

2. Второй замечательный предел.

Методические рекомендации к занятию. Необходимо знать первый и второй замечательные пределы. Причем второй предел необходимо знать в двух формах записи:

и .

Контрольные вопросы

1. Каким двойным неравенством связаны величины и ?

2. Что называется первым замечательным пределом?

3. Что называется вторым замечательным пределом?

4. Запишите формулу замены переменной под знаком предела.

Практические задания, выполняемые на занятии

17.1. Вычислить пределы

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ;

8) ; 9) ; 10) .

17.2. Вычислить пределы

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) .

17.3. Вычислить пределы

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) .

17.4.* Вычислить пределы:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

Задания для самостоятельной работы

17.5. Вычислить пределы

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) .

17.6. Вычислить пределы

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10)* .

Практическое занятие № 18 (2 часа).

Тема: Непрерывность функции.

План:

1. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке.

2. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

3. Точки разрыва функции и их классификация.

Методические рекомендации к занятию. Понятие непрерывности функции (в точке, на промежутке) является более простым, чем понятие предела, так как оно выражается непрерывностью графика при прохождении данной точки, данного промежутка (без отрыва карандаша от листа бумаги). Наряду с интуитивным представлением надо знать определение непрерывности функции в точке и на промежутке, свойства непрерывных функций, а также то, что всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке области определения и может иметь разрыв только на границах области определения.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте условия непрерывности функции в точке?

2. Сформулируйте определение непрерывности функции в точке, используя понятие приращений аргумента и функции.

3. Сформулируйте теоремы о сумме и произведении конечного числа непрерывных функций.

4. Сформулируйте теорему об отношении двух непрерывных функций.

5. Всякий ли многочлен является непрерывной функцией?

6. Любая ли рациональная функция является непрерывной?

7. Какая функция называется непрерывной на интервале; на отрезке?

8. Сформулируйте теорему о свойствах функций, непрерывных на отрезке.

9. Какая точка называется точкой непрерывности, а какая – точкой разрыва?

10. Какие точки называются точками разрыва первого рода, а какие – точками разрыва второго рода?

11. Сформулируйте теорему о непрерывности обратной функции.

12. Сформулируйте теорему о непрерывности сложной функции.

Практические задания, выполняемые на занятии

18.1. Доказать, что функция , , непрерывна в любой точке .

18.2. Исследовать непрерывность функции , , , в точке .

18.3. Доказать, пользуясь свойствами функций, непрерывных в точке, что функция , , , непрерывна на всей числовой прямой.

18.4. Доказать, что многочлен есть функция, непрерывная на всей числовой прямой.

18.5. Исследовать заданные функции на непрерывность и выяснить характер их точек разрыва, сделать чертеж:

Дата добавления: 2014-12-26