Прямых на плоскости

Под углом между прямыми на плоскости понимают наименьший (острый) из двух смежных углов, образованных этими прямыми.

Если прямые и заданы уравнениями с угловыми коэффициентами и , то

v угол между ними вычисляется с помощью формулы

(8)

v условие параллельности прямых и имеет вид

(9)

v условие перпендикулярности прямых и имеет вид

(10)

Если прямые и заданы общими уравнениями и , то

v угол между ними вычисляется с помощью формулы

, (11)

где и — нормальные векторы прямых и .

v условие параллельности прямых и имеет вид

(12)

Это условие вытекает из того, что если прямые и параллельны, то их нормальные векторы и коллинеарны, а это значит, что их соответствующие координаты пропорциональны.

v условие перпендикулярности прямых и имеет вид

(13)

Это условие вытекает из того, что если прямые и перпендикулярны, то и их нормальные векторы и тоже перпендикулярны, а это значит, что скалярное произведение этих векторов равно нулю.

Пример4.4. Вычислите угол между прямыми

а) и ;

б) и ;

в) и .

а) Воспользуемся формулой (8). Подставляя в неё значения и , находим

.

Ответ: .

б) Подставим значения , , , в формулу (11):

.

Ответ: .

в) Здесь , найдём .

. Тогда .

Так как , то данные прямые перпендикулярны. (По формуле (8) получаем: ).

Ответ: .

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую и вычисляется по формуле:

(14)

Пример 4.5. Найдите расстояние от точки до прямой .

Подставляя в формулу (14) данные задачи, получим

.

Ответ: лин. ед.

Дата добавления: 2014-12-26