Векторні простори сигналів

Якщо сигнал представлений вибіркою об’ємом N, всі відліки якої , n = 0, 1, …, N – 1 упорядковані в часі і рівномірно розподілені на інтервалі з кроком дискретизації T (рис. 2.2), то вибірка може розглядатись як N -вимірний вектор , а відліки вибірки як проекції вектора на базову ортонормовану систему векторів .

Рис. 2.2.

Умову ортонормованості можна записати з допомогою скалярного попарного добутку

(2.1)

або більш компактно:

, (2.2)

де – символ Кронекера:

(2.3)

Кожній вибірці об’ємом N відповідає N -вимірний вектор

. (2.4)

Отже, N -вимірні вибірки довільних сигналів утворять N -вимірний векторний простір. Так як модуль вектора називають нормою вектора, то можна говорити про норму відповідної вибірки:

. (2.5)

Якщо розглянути дві узгоджені в часі N -вимірні вибірки (рис. 2.3), то формально можна говорити про відстань між вибірками як векторами.

Рис. 2.3.

Відстань між векторами називається метрикою і визначається формулою

. (2.6)

Скалярний добуток двох вибірок як векторів дорівнює, з одного боку,

, (2.7)

з іншого боку,

. (2.8)

Тому, кут між двома вибірками та дорівнює

. (2.9)

Дата добавления: 2014-12-23