Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Разложение элементарных функций в ряд Маклорена




Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, т.е. функцию представлять в виде суммы степенного ряда.

Рядом Тейлора для функции называется степенной ряд вида

.

Если , то получим частный случай ряда Тейлора

,

который называется рядом Маклорена.

Степенной ряд внутри его промежутка сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать сколько угодно раз, причем полученные ряды имеют тот же промежуток сходимости, что и исходный ряд.

Два степенных ряда можно почленно складывать и умножать по правилам сложения и умножения многочленов. При этом промежуток сходимости полученного нового ряда совпадает с общей частью промежутков сходимости исходных рядов.

Для разложения функции в ряд Маклорена необходимо:

Вычислить значения функции и ее последовательных производных в точке , т.е. , , ,…, ;

Составить ряд Маклорена, подставив значения функции и ее последовательных производных в формулу ряда Маклорена;

Найти промежуток сходимости полученного ряда по формуле

, .

Таблица, содержащая разложения в ряд Маклорена некоторых элементных функций:

.

.

.

.

.

.

Пример 9. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Так как , то, заменяя на в разложении , получим:

, .

Пример 10. Выписать ряд Маклорена функции .

Решение. Так как , то воспользовавшись формулой , в которой заменим на , получим:

,

или

,

если

, т.е. .

Пример 11. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Воспользуемся формулой . Так как

, то заменив на получим:

, или

,

где , т.е. .


Задание для практической работы по теме «Выделение знакоположительного, знакочередующегося и степенного ряда. Разложение элементарных функций по формуле Тейлора»

1. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд.

2. Найти промежутки сходимости нижеследующих рядов и выяснить вопрос об их сходимости на концах промежутков сходимости.

3. Используя разложения в ряд Маклорена функции , , , , разложить степенные ряды функции.

Вариант 1 1. 2. 3.
Вариант 2 1. 2. 3.
Вариант 3 1. 2. 3.
Вариант 4 1. 2. 3.
Вариант 5 1. 2. 3.

 

Раздел 3. оСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ.

Практическое занятие №14

Тема 3.1:«Выполнение операций над множествами».

Цель: Выполнять операций над множествами.

Теоретический материал:

Множество – совокупность некоторых объектов. Примерами множеств являются множества чисел, множества точек прямой, множество линий и др. Каждое отдельное множество задается правилом или законом, позволяющим судить, принадлежит объект данному множеству или нет.

Множества обозначаются прописными буквами латинского или готического алфавита: A, B,...,M, K,.... Если множество A состоит из элементов a,b,c,..., это обозначается с помощью фигурных скобок: A={a,b,c,...,}. Если a есть элемент множества A, то это записывают следующим образом: a Î A. Если же a не является элементом множества A, то пишут a Ï A. Одним из важных множеств является множество N всех натуральных чисел N={1,2,3,...,}. Существует также специальное, так называемое пустое множество, которое не содержит ни одного элемента. Пустое множество обозначается символом Æ.

Условимся вводить определение, когда это будет удобно, посредством следующего символа: = (равенства по определению), двоеточие ставится со стороны определяемого объекта.

Множества А и B равны, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть, если из x Î A следует x Î B и обратно, из x Î B следует x Î A. Формально равенство двух множеств записывается следующим образом:

(А=В) := " x ((x Î A) Û (x Î B)),

это означает, что для любого объекта x соотношения xÎ A и xÎ B равносильны. Здесь " – квантор всеобщности (" x читается как "для каждого x ").

Множество А является подмножеством множества В, если любое х принадлежащее множеству А, принадлежит множеству В.

(A Ì B) := " x ((x Î A) Þ (x Î B))

Если AÌ B, но A¹ B, то A – собственное подмножество множества В.

Пример 1. Множество {2,4,6,..., 2n,...} является собственным подмножеством множества натуральных чисел. Пустое множество является подмножеством любого множества.

Операции над множествами. Для наглядного представления операций над множествами применяются диаграммы.

1. Объединение. C=A È B: = { x: x Î A или x Î B }

 

Пример2. A = {1; 3; 5; 7 ;...; 2 n- 1 ;.... } — нечетные числа

B = {2; 4; 6; 8 ;....; 2 n;... } — четные числа

A È B = {1; 2; 3 ;...; n;...... } — натуральный ряд

2. Пересечение. C=A Ç B:= { x: x Î A и x Î B }

 

 

 

Пример 3. A={2,4,...,2n,...}, B={3,6,9,...,3n,...}.

Тогда C=AÇ B={6,12,...,6n,...}.

3. Вычитание. A \ B: = { x:x Î A и x Ï B }

 

 

4. Дополнение (до U) множества A называется .
Пусть U — универсальное множество (все остальные множества принадлежат U)

: = { x:x Î U и x Ï A } = U \ A

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-26; Просмотров: 4473; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.023 сек.