Теорема Эрроу о невозможности. Анализ предпосылок теоремы Эрроу

Эрроу (1951) обобщил этот результат, показав, что не существует социального ранжирования, удовлетворяющего множеству условий, рассматриваемых как обоснованные. Кратко опишем эти условия.

- Социальное ранжирование удовлетворяет предпосылке универсальности области определения (UD), если W (A) есть класс всех упорядочений на A. Предпосылка универсальности области определения не позволяет устанавливать ограничения на индивидуальные предпочтения. Мы ищем способ построения социального ранжирования, которое было бы общезначимым для любых групп агентов.

- Социальное ранжирование удовлетворяет принципу Парето (PP), если состояние общества a ₁, предпочитаемое всеми агентами состоянию a2, общественное ранжирование оценивает выше, чем a ₂. Формально, " P =(P ¹,…, P^I)Î[ W (A)] ^I и " a ₁Î A, " a ₂Î A: a ₁ Pⁱa ₂, " i =1,…, I, Þ a ₁ F (P) a ₂.

Это предположение безобидно, если мы принимаем, что общественный выбор должен основываться на выборе индивидуумов.

- Социальное ранжирование удовлетворяет предпосылке о независимости посторонних альтернатив (IIA), если ранжирование двух состояний общества общественным предупорядочением зависит от ранжирования агентами только этих состояний. Формально, " a _1, a ₂Î A, " P =(P ¹,…, P^I)Î[ W (A)] ^I и " P’ =(P’ ¹,…, P’^I)Î[ W (A)] ^I: (a ₁ Pⁱa ₂ Û a ₁ P’ⁱa ₂ " i =1,…, I), Þ (a ₁ F (P) a ₂ Û a ₁ F (P’) a ₂). Предпосылка о независимости посторонних альтернатив является формальным способом исключить любую возможность того, что социальное ранжирование может принимать во внимание интенсивность предпочтений. В самом деле, два профиля предпочтений, которые представляют одно и то же индивидуальное упорядочение, должны приводить к одинаковому общественному упорядочению.

- Социальное ранжирование является диктаторским, если существует агент, чьи предпочтения определяют общественное упорядочение. То есть iÎ{1,…,I} является диктатором Û " P =(P ¹,…, P^I)Î[ W (A)] ^I, F (P ¹,…, P^I) = Pⁱ.

Теорема 1 (Эрроу, 1951)[34]. Любое общественное упорядочение, которое удовлетворяет предпосылкам PP, IIA и UD является диктаторским, если I ³2 и ï A ç³3.

Доказательство.

Определение. Назовем множество агентов S почти решающим для упорядоченной пары состояний (a ₁, a ₂), если " P =(P ¹,…, P^I)Î[ W (A)] ^I, a ₁ Pⁱa ₂, " i Î S и a ₂ P^ja ₁, " j Ï S Þ a ₁ F (P) a ₂.

Определение. Назовем множество агентов S решающим для упорядоченной пары состояний (a ₁, a ₂), если " P =(P ¹,…, P^I)Î[ W (A)] ^I, a ₁ Pⁱa ₂, " i Î S Þ a ₁ F (P) a ₂. [для краткости обозначим a ₁ Pa ₂].

По определению D^j (a ₁, a ₂), если j почти решающий для (a ₁, a ₂), (a ₁, a ₂), если j решающий для (a ₁, a ₂)

Лемма 1. При предпосылках PP,UD и IIA найдется агент, который является почти решающим для упорядоченной пары состояний общества.

Доказательство.

Для любой пары (a ₁, a ₂) множество всех агентов решающее (и, следовательно, почти решающее) в силу PP.

Рассмотрим наименьшее множество агентов, обозначенное S, которое является почти решающим для некоторой пары состояний (образованное путем перебора всех пар).

Если состоит из одного агента, лемма доказана.

Обозначим пару, для которой S является почти решающим через (a ₁, a ₂).

Если S содержит более одного агента, рассмотрим разбиение S, S ₁È S ₂, где S ₁ состоит из одного агента. Пусть S ₃ - множество агентов, не входящих в S.

Рассмотрим профиль (существующий в силу UD):

Для i Î S ₁ a ₁ Pⁱa ₂ Pⁱa ₃

Для j Î S ₂ a ₃ P^ja ₁ P^ja ₂

Для k Î S ₁ a ₂ P^ka ₃ P^ka ₁.[Неизвестн4]

Так как S почти решающее для (a ₁, a ₂) и так как a ₁ предпочитается a ₂ любым агентом из S, и так как любой агент, не входящий в S, предпочитает противоположное, то

a ₁ Pa ₂.

Если a ₃ Pa ₂, то S ₂ есть почти решающая группа для через (a ₃, a ₂) в силу IIA, что противоречит определению S.

Если, напротив, a ₂ Pa ₃ или a ₂ ~a ₃, то требование транзитивности для P влечет, что a ₁ Pa ₃; тогда S ₁ почти решающая группа для (a ₁, a ₃) в силу IIA, что противоречит определению S, что и требовалось доказать.

Лемма 2. Если при предпосылках PP,UD и IIA существует агент j, который является почти решающим для упорядоченной пары состояний общества, j должен быть диктатором.

Доказательство.

Утверждение 1. (statement 1)

Пусть (a ₁, a ₂), a ₁Î A, a ₂Î A, такая пара состояний общества, для которой j является почти решающим. Рассмотрим тройку состояний общества (a ₁, a _2, a ₃). Тогда j является решающим для (a ₁, a ₃) и (a ₃, a ₂).

Выберем такой профиль предпочтений, что

a ₁ P^ja ₂ P^ja ₃

a ₂ Pⁱa ₁ и a ₂ Pⁱa ₃ " i ¹ j.

Так как j является почти решающим для (a ₁, a ₂), то a ₁ Pa ₂.

Из PP следует, что a ₂ P a ₃.

В силу транзитивности, a ₁ P a ₃.

Таким образом, a ₁ P a ₃ независимо от предпочтений агентов i ¹ j относительно (a ₁, a ₃).

При этом a ₁ P a ₃ не зависит от ранжирования (a ₁, a ₂) и (a _2, a ₃) в силу IIA.

Следовательно, a ₁ P a ₃ вне зависимости от предпочтений агентов i ¹ j.

То есть является решающим для (a ₁, a ₃): .

Аналогично, поменяв роли (a ₁, a ₂) и (a ₃, a ₁) и выбрав подходящий профиль в силу UD, можно показать, что j - решающий для (a ₃, a ₂), то есть .

Иначе говоря, для трех состояний общества, a _a, a _b, a _g, мы имеем:

.

При этом по определению

Утверждение 2. Пусть (a ₁, a ₂), a ₁Î A, a ₂Î A, такая пара состояний общества, для которой j является почти решающим. Рассмотрим тройку состояний общества (a ₁, a _2, a ₃). Тогда j является решающим для всех упорядоченных пар входящих в тройку состояний общества.

.

Таким образом, агент является решающим для любого множества из трех состояний общества, содержащего (a ₁, a ₂).

Утверждение 3.

Агент j, являющийся почти решающим для пары (a ₁, a ₂), и, следовательно, по утверждению 2 являющийся решающим для любой тройки состояний общества, содержащей (a ₁, a ₂), является решающим для любой пары (u, v).

Рассмотрим множество состояний общества, большее, чем (a ₁, a ₂) и пусть(u, v) будет произвольная пара состояний общества из этого множества.

Тогда:

(i) (u, v) совпадает с (a ₁, a ₂), в этом случае справедливо и ;

(ii) u равно a ₁, а v не равно a ₂ (или любой другой подобный случай). Выберем тройку (u = a ₁, a ₂, v). ;

(iii) как u, так и v отлично и от a ₁, и от a ₂, тогда осуществим следующую процедуру. Рассмотрим сначала тройку (a ₁, a ₂, u). . Затем рассмотрим тройку (a ₁, u, v). Следовательно, для любой упорядоченной пары (u, v).

Следовательно, является диктатором.

Лемма 2 доказана.

Из лемм 1 и 2 следует доказательство теоремы Эрроу.

Часто результат теоремы Эрроу воспринимается как необходимость наличия диктатора для осуществления общественного выбора. На самом деле это не является в строгом смысле выводом из теоремы. Она утверждает только невозможность одновременного выполнения всех предпосылок, в том числе и отсутствия диктатора. Поскольку общественный выбор все же осуществляется, это означает, что какие-либо из предпосылок нарушаются.

Некоторые из предпосылок теоремы Эрроу можно в определенном смысле назвать слишком сильными.

Так, предпосылка универсальность области определения, требует принятия в рассмотрение при применении процедуры общественного выбора любых возможных профилей предпочтений экономических агентов. Если ограничить это требование, то не будут выполнены обе леммы, поскольку в них несколько раз выбираются определенным образом профили предпочтений. Можно ли отказаться от этой предпосылки? В принципе, если мы откажемся от нее, может сложиться такой профиль предпочтений, что или не будет определена на нем процедура, или она будет осуществима, но с нарушением других предпосылок. На практике, тем не менее, такое ограничение встречается в разных формах. Часто принимающие решение группы складываются по интересам. В этом случае сам доступ в группу требует определенных ограничений на индивидуальные предпочтения, а, значит, и на профиль предпочтений. Общество часто ограничивает право принимать участие в голосовании некоторых лиц (бывают ограничения возрастные, по дееспособности, в соответствии с прошлыми поступками лица). Такое ограничение, по-видимому, не является в определенном смысле справедливым, кроме того, оно само является результатом общественного выбора, поскольку для его принятия уже некоторым образом формулируются некоторые оценочные суждения, то есть предполагаются известными общественные предпочтения в отношении этого вопроса. Но такого рода ограничения складываются в разных обществах.

Условие независимости от посторонних альтернатив также можно рассматривать как довольно сильное допущение. Причем принятие его в виде требования к процедуре далеко не всеми может быть оценено как справедливое. Предположим, что в результате применения процедуры выбирается альтернатива A и отвергается B. При этом кто-то предпочитает А, кто-то В, но для них это выбор менее важен, чем, скажем, между С и D. Если происходит изменение предпочтений части группы таким образом, что осуществление альтернативы B становится для него чрезвычайно важным, он ее ценит выше любых иных альтернатив, готов, в частности, уступить и в выборе между С и D, то при процедуре, удовлетворяющей независимости от посторонних альтернатив, это изменение не будет учтено. Однако такое правило может быть важным с точки зрения стабильности общественного выбора.

[35]Однако Литл высказал сомнения в том, что условие независимости от посторонних альтернатив вообще требуется, поскольку в традиционной экономике благосостояния рассматриваются модели с постоянными предпочтениями. Ответом был довод Эрроу, что, хотя в числе традиционных предпосылок экономической теории и постулируется постоянство предпочтений, но в действительности они меняются, поэтому необходимо налагать условие независимости от посторонних альтернатив.

Интересно, что даже вопрос о транзитивности результата процедуры выбора не является бесспорным: Бьюкенен задавался вопросом, должно ли ранжирование, возникающее в результате коллективного выбора удовлетворять условию транзитивности, применяемому к индивидуальным предпочтениям.

Отсутствие правила, удовлетворяющего всем требованиям, означает, что нет способа выбрать процедуру, которая могла бы заменить критерии благосостояния, такие как критерий Парето.

Дата добавления: 2014-12-26