Добування кореня степеня n

Формула Муавра

Піднесення дійсного числа до степеня n є частковим випадком дії множення:

(1.29)

При має місце формула Муавра:

(cos j + i∙ sin j) ⁿ = cos n j + i sin n j. (1.30)

Формули (1.29) та (1.30) вірні і для від’ємних n, так як .

Добути корінь степеня n із числа z означає знайти таке число , для якого (z ≠ 0), тобто

(1.31)

Тут враховано те, що на площині z аргумент зображується з точністю до цілого числа повних обертів 2 π k. Тому, при добуванні кореня цей доданок дозволяє не втратити жодного розв’язку, тобто кореня.

Якщо комплексні числа z та w записати в тригонометричній формі:

z = r (cos j + i sin j), (1.32)

w = r(cos q + i sin q), (1.33)

тозгідно (1.31)

, (1.34)

. (1.35)

Отже, модулі всіх коренів однакові. Значення фазового кута з алежить від значення k:

, . (1.36)

При k ≥ n значення , а отже і значення коренів повторюються з точністю до цілого числа повних обретів. Корені з кроком рівномірно розташовані по колу радіуса r. Початкове значення аргументу кореня при k = 0 дорівнює . Звідси має місце наступний алгоритм знаходження коренів (рис. 1.7):

1. Визначаються модуль та аргументчисла z: .

2. Знаходиться модуль кожного кореня: .

3. Знаходиться аргумент нульового кореня:

4. Визначається кутовий крок коренів:

5. Визначається аргумент кожного кореня:

, k = 0, 1, 2, …, n – 1.

6. Визначаються в тригонометричній формі всі n корені числа z:

, k = 0, 1, 2, …, n – 1.

Рис. 1.7. Добування кореня степеня n

Зауважимо, що:

· операція як послідовність операцій піднесення до степеня m та операцій добування кореня степеня n визначена для будь-яких цілих значень m i n;

· у виразі дріб m / n не скорочується, навіть, якщо m i n мають спільні множники. Вираз має n коренів. Наприклад, вираз має чотири корені, а вираз - два корені.

Дата добавления: 2014-12-23