Спряжені комплексі числа

Особливу роль в розробці теорії та методів цифрової обробки сигналів відіграють спряжені комплексні числа.

Комплексне число називають комплексно спряженим до комплексного числа . Ця пара чисел є взаємно комплексно спряженими, бо .

При алгебраїчній формі комплексно спряжені числа відрізняються знаком уявної частини.

Основні властивості комплексно спряжених чисел:

, (1.52)

, (1.53)

, (1.54)

, . (1.55)

ü Спряжені комплексні числа зображуються такими точками, що розташовані симетрично відносно дійсної осі х (рис. 1.9).

Рис. 1.9. Векторне зображення основних властивостей
комплексно-спряжених чисел

Тому, згідно рис. 1.9:

. (1.55)

. (1.56)

. (1.57)

Також корисними є формули:

. (1.58)

. (1.59)

, (1.60)

бо, якщо z = x + yi, то , а .

Рис 1.9.

При тригонометричній формі комплексного числа :

. (1.61)

При показниковій формі комплексного числа:

. (1.62)

Отже, при переході до комплексного спряженого числа в числі z, що задано в тригонометричній або показниковій формах, можна поміняти знак аргументу j на протилежний.

Важливою для нас є формула:

. (1.63)

Дійсно, з одного боку (рис. 1.10):

,

.

З іншого боку

.

Тому, , що відповідає формулі (1.63).

Висновки

Застосування комплексних чисел в цифровій обробці сигналів потребує різних форм запису комплексних чисел. Вказані раніше особливості комплексних чисел залежно від форми запису зведено в таблицю 1.1.

Таблиця 1.1.

Параметри комплексних чисел в залежності від форми запису

Форма параметр	Алгебраїчна	Тригонометрична	Показникова
z	x + yi
		r
Arg z	-	j	j
	x - yi
Зручно здійснювати	Додавання та віднімання	Множення та ділення	Множення, ділення, диференціювання, інтегрування

Дата добавления: 2014-12-23