Оценка соответствия эмпирического и теоретического законов распределения случайной переменной

Функция применяется для определения вероятностей попадания показателя в интервал (z1,z2)

P(z1<Z<z2)=F(z2)-F(z1).

Например, при оценке содержания гемоглобина в крови здоровых мужчин в возрасте 20-30 лет получено ẋ= 145г/л, S=5 г/л; требуется определить вероятность того, что содержание гемоглобина будет от 135 до 155 г/л.

Для решения определяем нормированное значение интервала:

z1 = (135-145)/5=-2

z2 = (155-145)/5=+2

По формуле функции распределения:

F(z1)=F(-2)=0.023,

F(z2)=F(92)=0.977.

P(-2<Z<2)=F(2)-F(-2)=0.977-0.023=0.954, или 95,4%.

Предполагать нормальность распределения результатов медико-биологических наблюдений априори нет оснований. Следовательно, нормальность надо проверять. Предварительные выводы о виде распределения переменной можно сделать по статистическому ряду распределения, гистограмме и кумулятивной линии, являющимися аналогами функций плотности распределения и интегральной функции распределения. Для окончательного суждения о соответствии эмпирического распределения определенному теоретическому закону распределения применяют специальные критерии - Пирсона, Стьюдента, Колмогорова-Смирнова и т.д. Рассмотрим критерий Стьюдента.

Критерий Стьюдента был разработан английским химиком У.Госсетом, когда он работал на пивоваренном заводе Гиннеса и по условиям контракта не имел права открытой публикации своих исследований. Поэтому публикации своих статей по t-критерию У.Госсет сделал в 1908г. в журнале "Биометрика" под псевдонимом "Student", что в переводе означает "Студент". Коварная простота вычисления t-критерия Стьюдента, а также его наличие в большинстве статистических пакетов и программ привели к широкому использованию этого критерия даже в тех условиях, когда применять его нельзя.

Наиболее часто t -критерий Стьюдента используется в двух случаях. В первом случае его применяют для проверки гипотезы о равенстве генеральных средних двух независимых, несвязанных выборок (так называемый двухвыборочный t-критерий). В этом случае есть контрольная группа и опытная группа, состоящая из разных пациентов, количество которых в группах может быть различно. Во втором же случае используется так называемый парный t-критерий, когда одна и та же группа объектов порождает числовой материал для проверки гипотез о средних. Поэтому эти выборки называют зависимыми, связанными.

t-критерий является наиболее часто используемым методом обнаружения различия между средними двух выборок. Например, t-критерий можно использовать для сравнения средних показателей группы пациентов, принимавших определенное лекарство, с контрольной группой, где принималось безвредное лекарство. Теоретически, t-критерий может применяться, даже если размеры выборок очень небольшие (например, 10; некоторые исследователи утверждают, что можно исследовать выборки меньшего размера), и если переменные нормально распределены (внутри групп), а дисперсии наблюдений в группах не слишком различны. Предположение о нормальности можно проверить, исследуя распределение (например, визуально с помощью гистограммы) или применяя какой-либо критерий нормальности. Если условия применимости t-критерия не выполнены, следует использовать непараметрические альтернативы t-критерия

Степень различия между средними в двух группах зависит от внутригрупповой вариации (дисперсии) переменных. В зависимости от того, насколько различны эти значения для каждой группы, "грубая разность" между групповыми средними показывает более сильную или более слабую степень зависимости между независимой (группирующей) и зависимой переменными. Например, если среднее число лейкоцитов равнялось 102 для мужчин и 104 для женщин, то разность внутригрупповых средних только на величину 2 будет чрезвычайно важной, когда все значения мужчин лежат в интервале от 101 до 103, а все значения женщин - в интервале 103 - 105. В этом случае можно довольно хорошо предсказать значение зависимой переменной, исходя из пола субъекта (независимой переменной). Однако если та же разность 2 получена из сильно разбросанных данных (например, изменяющихся в пределах от 0 до 200), то этой разностью вполне можно пренебречь. Таким образом, можно сказать, что уменьшение внутригрупповой вариации увеличивает чувствительность критерия.

t-критерий для зависимых выборок очень полезен в тех довольно часто возникающих на практике ситуациях, когда важный источник внутригрупповой вариации (или ошибки) может быть легко определен и исключен из анализа. Например, это относится к экспериментам, в которых две сравниваемые группы основываются на одной и той же совокупности наблюдений (субъектов), которые тестировались дважды (например, до и после лечения, до и после приема лекарства). В подобных экспериментах значительная часть внутригрупповой изменчивости (вариации) в обеих группах может быть объяснена индивидуальными различиями субъектов. Однако в случае независимых выборок, вы ничего не сможете поделать с этим, т.к. не сможете определить (или "удалить") часть вариации, связанную с индивидуальными различиями субъектов. Если та же самая выборка тестируется дважды, то можно легко исключить эту часть вариации. Вместо исследования каждой группы отдельно и анализа исходных значений, можно рассматривать просто разности между двумя измерениями (например, "до приема лекарства" и "после приема лекарства") для каждого субъекта. Вычитая первые значения из вторых (для каждого субъекта) и анализируя затем только эти "чистые (парные) разности", вы исключите ту часть вариации, которая является результатом различия в исходных уровнях индивидуумов. Именно так и проводятся вычисления в t-критерии для зависимых выборок. В сравнении с t-критерием для независимых выборок, такой подход дает всегда "лучший" результат (критерий становится более чувствительным).

Чтобы применить t-критерий для независимых выборок, требуется, по крайней мере, одна независимая (группирующая) переменная (например, признак опытной и контрольной групп) и одна зависимая переменная (например, тестовое значение некоторого показателя, кровяное давление, число лейкоцитов и т.д.). Исследователь выдвигает гипотезу Н0 (нулевую) о соответствии закона распределения данной зависимой переменной нормальному. Эту гипотезу принимают, если ее вероятность (уровень значимости р) будет больше 0.05, и отвергают, если ее вероятность будет меньше или равна 0.05. В этом случае следует подыскать для описания переменной более подходящий закон распределения.

Дата добавления: 2014-12-27