![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Определителем (детерминантом) квадратной матрицы n-го порядка называется число 1 страница
þ Обозначения: detA, D и | A |.
Строки и столбцы определителя называются рядами. Определитель второго порядка вычисляется по правилу (1):
Определитель третьего порядка вычисляется по правилу (2):
Правило вычисления определителя третьего порядка следующее. Это алгебраическая сумма шести тройных произведений элементов, стоящих в разных строках и разных столбцах. Со знаком плюс берутся произведения, сомножители которых находятся на главной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали. Со знаком минус берутся произведения, сомножители которых стоят на другой диагонали и в вершинах треугольников с основаниями, параллельными этой диагонали (рис. 1).
(+) (-)
Рис. 1. Правило вычисления определителя третьего порядка
@ Задача 1. Найти Решение: Определитель второго порядка вычисляется по правилу (1): detA = 2·3 – (–3)·4=18. @ Задача 2. Найти Решение: Определитель третьего порядка вычисляется по правилу (2): detA = 1·3·2 + 2·1·0 + 3·2·1 – 3·3·0 – 2·2·2 – 1·1·1 = 3. Минор и алгебраическое дополнение Минором mij некоторого элемента aij определителя n–го порядка называется определитель (n – 1)-го порядка, полученный из исходного определителя путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца, на пересечениях которых находится выбранный элемент. Например, минором элемента a11 определителя третьего порядка является Алгебраическим дополнением называется Aij = (– 1) i+j mij. Если сумма индексов алгебраического дополнения i + j четное число, то алгебраические дополнения и миноры совпадают: Aij = mij, а если – нечетное число, то они отличаются знаком: Aij = – mij. Свойства определителей 1. Если какой-то ряд состоит из одних нулей, то определитель равен 0. 2. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот. 3. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак. 4. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю. 5. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя. 6. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух определителей, с соответствующими слагаемыми этой суммы. 7. Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число. 8. Определитель равен сумме произведений элементам некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.
Например, определитель третьего порядка равен: detA = a11A11 + a12A12 + a13A13 = a11m11 – a12m12 + a13m13. (3) @ Задача 3. Найти Решение: Определитель найдем, применяя формулу (3):
Ранг матрицы Наибольший порядок отличных от нуля детерминантов (миноров) прямоугольной матрицы m ´ n, называется рангом матрицы r, причем r £ min(m, n). Для квадратной матрицы ранг r £ n. Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров. @ Задача 4. Найти ранг матрицы Решение: Ранг матрицы r £ min(3, 4) = 3. Все детерминанты третьего порядка равны нулю, так как две их строки (вторая и третья) одинаковые (отличаются на постоянный множитель). Отличны от нуля только детерминанты второго порядка, поэтому r = 2.
§ 1.4. Обратная матрица
Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля: detA ¹ 0. В противном случае матрица называется вырожденной. Матрица A- 1 называется обратной матрице А, если выполняется условие A- 1 A = AA- 1 = E. Только у невырожденных квадратных матриц есть обратные матрицы. Обратная матрица вычисляется по формуле (detA ¹ 0):
Для матрицы A второго порядка обратная матрица равна:
@ Задача 1. Найти A- 1, если Решение: 1. Находим определитель матрицы:
2. Находим обратную матрицу:
@ Задача 2. Найти A- 1, если Решение: 1. Находим определитель матрицы:
2. Вычисляем алгебраические дополнения: 3. Находим обратную матрицу:
Свойства обратной матрицы 1. Определитель обратной матрицы A- 1 равен обратной величине определителя матицы A: det(A- 1) = 1/ detA 2. Обратная матрица произведения двух матриц равна произведению их обратных матриц: (A × B) - 1 = B- 1× A- 1 3. При перестановке операций транспонирования и нахождения обратной матрицы результат не изменяется: (A- 1) T = (AT)-1. Буква T означает операция транспонирования – операция замены строк столбцами и наоборот. В частности, при транспонировании вектор-столбец превращается в вектор-строку.
§ 1.5. Векторы Понятие вектора Отрезок на прямой определяется двумя равноправными точками – его концами. Различают также направленный отрезок, т.е. отрезок, относительно концов которого известно какой из них первый (начало), а какой – второй (конец). Определение: Направленный отрезок (или упорядоченная пара точек) называется вектором. Вектор обычно обозначается символом Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной. Для обозначения длины вектора (его абсолютной величины) пользуются символом модуля. Так Вектор единичной длины называют ортом. К векторам будем относить и так называемый нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают. Считается, что нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину равную нулю. Это позволяет обозначать нулевой вектор вещественным числом 0 (нуль). Векторы расположенные либо на одной прямой, либо на параллельных прямых называются коллинеарными. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Среди коллениарных векторов различают одинаково направленные (сонаправленные) и противоположно направленные векторы. Векторы называются компланарными, если они лежат, либо на одной плоскости, либо на прямых, параллельных одной и той же плоскости.
Определение: Два вектора называются равными, если они: 1) коллинеарны; 2) равны по длине; 3) одинаково направлены. Следствие: Для любого вектора Мы не будем различать двух равных векторов, имеющих разные точки приложения. Такие векторы называются свободными (в отличие от скользящих и связанных векторов, встречающихся в других науках). Понятие равенства векторов обладает следующими свойствами: 1. 2. Из того, что 3. Из того, что Операции над векторами Определение: Суммой В соответствии с определением слагаемые Операция сложения векторов обладает свойствами: 1. 2. 3. 4. для каждого вектора Вектор противоположный вектору Определение: Разностью
Разность Замечание: Существует еще одно правило сложения векторов, называемое «правилом параллелограмма»: векторы
Определение: Произведением Замечание: В случае, когда λ = 0 или Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами: 1. Действительно, заметим, что векторы, стоящие обеих частях равенства, имеют одну и ту же длину 2.
Построим треугольник OAB где Очевидно, что векторы стоящие в обеих частях второго свойства дистрибутивности коллинеарны. Допустим сначала, что знаки λ и μ одинаковы. Тогда векторы Теорема: Если вектор Проекция вектора Под углом между векторами понимается угол между векторами равными данным и имеющими общее начало. Если направление отсчета угла не указано, то углом между векторами считается тот из углов, который не превосходит π. Если один из векторов нулевой то угол считается равным нулю. Если угол между векторами прямой то векторы называются ортогональными. Определение: Ортогональной проекцией Модуль этой скалярной величины равен длине отрезка OA0. Если угол φ острый проекция является положительной величиной, если угол φ тупой – проекция отрицательна, если угол φ прямой – проекция равна нулю. При ортогональной проекции угол между отрезками OA0 и AA0 прямой. Существуют проекции, у которых этот угол отличен от прямого. Проекции векторов обладают следующими свойствами: 1. 2.
Базис называется ортогональным, если его векторы попарно ортогональны. Ортогональный базис называется ортонормированным, если его векторы по длине равны единице. Для ортонормированного базиса в пространстве часто используют обозначения Теорема: В ортонормированном базисе координаты векторов есть соответствующие ортогональные проекции этого вектора на направления координатных векторов. Пример: Пусть вектор
Пример: Пусть вектор
Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 689; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |