Определителем (детерминантом) квадратной матрицы n-го порядка называется число 2 страница

Скалярное произведение
Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если один из векторов нулевой скалярное произведение считается равным нулю.

Скалярное произведение векторов и обозначается через [или ; или ]. Если φ - угол между векторами и , то .

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1. (коммутативность).

2. (скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины).

3. Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны или хотя бы один из них нулевой.

4. .

5. .

6. .

Векторное произведение

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правоориентированной (правой), если после приложения к общему началу из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется левоориентированной (левой).

Определение: Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1. где φ – угол между векторами и ;

2. вектор ортогонален вектору , вектор ортогонален вектору ;

3. упорядоченная тройка векторов является правой.

Если один из векторов нулевой, то векторное произведение есть нулевой вектор.

Векторное произведение вектора на вектор обозначается {либо }.

Теорема: Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.

Теорема: Длина (модуль) векторного произведения двух векторов равняется площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.

Пример: Если – правый ортонормированный базис, то , , .

Пример: Если – левый ортонормированный базис, то , , .

Пример: Пусть, а ортогонален к . Тогда получается из вектора поворотом вокруг вектора на по часовой стрелке (если смотреть из конца вектора ).

Пример: Если дан вектор , то каждый вектор можно представить в виде суммы , где – ортогонален , а – коллинеарен . Легко видеть, что .

Действительно, можно заметить, что . Вектор компланарен векторам и , а потому и коллинеарны. Легко видеть (рис. 12), что они одинаково направлены.

Векторное произведение обладает следующими свойствами:

1. (антикоммутативность);

Действительно, из определения следует, что модуль векторного произведения не зависит от порядка сомножителей. Точно так же вектор коллинеарен вектору . Однако, переставляя сомножители, мы должны изменить направление произведения, чтобы было выполнено условие 3) определения. Действительно, если , , - правая тройка, то , , - левая, а , , - снова правая тройка.

2. ;

Если φ - угол между векторами и , то . Векторы, стоящие в обеих частях доказываемого равенства, лежат на прямой, перпендикулярной и . При λ > 0 и вектор и вектор направлены так же, как . Если λ < 0, то кратчайший поворот от к производится навстречу кратчайшему повороту от к . Поэтому и противоположно направлены. Очевидно, что противоположно направлены также и векторы и . Таким образом, при λ ≠ 0 векторы и направлены всегда одинаково, и равенство доказано. При λ = 0 равенство очевидно.

3. ;

Если , то доказываемое очевидно. Если , то разложим и в суммы и , где и ортогональны , а и коллинеарны . Поскольку , и вектор ортогонален , а коллинеарен , нам достаточно доказать равенство и (в силу свойства 2) даже равенство , где . Длина вектора равна 1. Выше, в примере, мы видели, что в этом случае умножение на сводится к повороту (ортогонального к ) первого сомножителя на угол 90°. Но при повороте параллелограмм, построенный на и , поворачивается целиком вместе с диагональю. Тем самым равенство доказано.

4. .

Пусть в некотором базисе заданы векторы и тогда

или

Справедливость теоремы следует из предыдущих формул при учете примеров в начале раздела. Чтобы избежать постоянных замечаний об ориентации базиса, мы будем считать, что базис выбирается всегда правый.

Векторное произведение используется в основном для решения двух задач:

1. Нахождения вектора перпендикулярного плоскости, в которой расположены два заданных вектора.

2. Вычисление площади S параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах. В ортонормированном базисе

В планиметрии векторное произведение не определено. Но ничто не мешает считать, что изучаемая плоскость помещена в пространство и третий базисный вектор выбран единичным и перпендикулярным плоскости. Тогда векторное произведение имеет одну ненулевую компоненту, а именно третью, и площадь параллелограмма в ортонормированном базисе на плоскости выражается формулой

.

§ 1.6. Комплексные числа

Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi, где a и b – действительные числа, – мнимая единица. Число а называется действительной частью комплексного числа z и обозначается a = Rez, число b – мнимой частью z: b = Imz.

Два комплексных числа z₁ = a₁ + b₁i и z₂ = a₂ + b₂i равны, если a₁ = a₂ и b₁ = b₂.

Комплексные числа z = a + bi и z = a – bi называются сопряженными.

Действия над комплексными числами

1. При сложении двух комплексных чисел отдельно складываются их действительные части и мнимые части:

z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂)i. (1)

2. При умножении двух комплексных чисел получается комплексное число:

z₁z₂ = (a₁a₂ – b₁b₂) + (a₁b₂ + a₂b₁)i, (2).

3. При делении двух комплексных чисел получается комплексное число:

, (3).

@ Задача 1. Найти сумму двух комплексных чисел 2 + 3 i и – 4 + 6 i.

Решение: Комплексные числа суммируются по правилу (1): (2 + 3 i) + (– 4 + 6 i) = (2 – 4) + (3 + 6) i = – 2 + 9 i.

@ Задача 2. Найти произведение двух комплексных чисел 2 + 3 i и – 4 + 5i.

Решение: Комплексные числа умножаются по правилу (2):

(2 + 3 i)·(– 4 + 5 i) = (2·(– 4) – 3·5) + (2·5 + 3·(– 4)) i = – 23 – 2 i.

@ Задача 3. Найти частное двух комплексных чисел 2 + 4 i и 1 + i.

Решение: Комплексные числа делятся по правилу (3):

.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Всякое комплексное число z = a + bi можно изобразить точкой A(a,b) плоскости, такой что a = Rez, а b = Imz. Тогда a и b можно выразить через полярные координаты r и j: a = rcos j, b = rsin j, где r и j называются модулем и аргументом комплексного числа.

Таким образом, комплексное число z = a + bi можно представить в тригонометрической форме

.

Экспоненциальной формой комплексного числа называется число .

@ Задача 4. Представить в тригонометрической форме комплексное число .

Решение: Так как , то комплексное число представляется в тригонометрической форме в виде

.

Корни квадратного и биквадратного уравнений

Корни квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 с отрицательным дискриминантом D = b ² – 4ac < 0 являются комплексными числами и находятся по формулам .

Корни биквадратного уравнения x ⁴ + px ² + q = 0 с отрицательным дискриминантом D = p ² – 4q < 0 являются комплексными числами и находятся по формулам:

,

.

@ Задача 5. Решить квадратное уравнение x ² – 4x + 8 = 0.

Решение: Дискриминант квадратного уравнения отрицательный: D = 4 ² – 4×8 = – 16 < 0 и, следовательно, корни квадратного уравнения равны .

@ Задача 6. Решить биквадратное уравнение

x ⁴ – 4x ² + 16 = 0.

Решение: Дискриминант биквадратного уравнения отрицательный: D = 4 ² – 4×16 = – 48 < 0. Т.к. и , то и .

§ 1.7 Прямые и плоскости в аффинном пространстве. Выпуклые множества и их свойства.

В n -мерном пространстве задаётся упорядоченной системой линейно независимых векторов , выходящих из одной точки O. Аффинными координатами точки M называют такие числа x_i, что

Tочку O и систему векторов называют репером или аффинным базисом; прямые, проходящие через вектора — координатными осями.

На аффинной плоскости (n = 2) координату x ₁ называют абсциссой, а x ₂ – ординатой точки M. В пространстве же координаты точки называют её абсциссой, ординатой и аппликатой. Аналогичным образом именуют и координатные оси.

Выпуклые множества и их свойства

Множество - выпуклое, если вместе с любыми двумя точками множеству принадлежат все точки отрезка, соединяющего в пространстве точку с точкой . Заметим, что отрезок, состоящий из точек , можно параметризовать следующим образом: Тогда при будет получаться точка , при -- точка , а при - промежуточные точки отрезка, так что обозначения точек отрезка как будут согласованы с обозначениями его концов.

На следующем рисунке изображены два множества на плоскости : одно выпуклое, а другое нет.

Выпуклыми в пространстве являются, например, такие множества: всё пространство , его положительный октант и неотрицательный октант , любой шар, как открытый , так и замкнутый , любая гиперплоскость (заданная некоторым уравнением вида , а также открытое и замкнутое полупространства, заданные, соответственно, условиями и .

Теорема 1. Если все множества некоторого семейства выпуклы, то выпукло и их пересечение

Доказательство. Пусть точки и принадлежат ; тогда обе они принадлежат каждому из множеств . Значит, если - произвольная точка отрезка, соединяющего и , то она принадлежит , поскольку выпукло. Но так как для всех , то , что и требовалось доказать.

Из этой теоремы следует, например, что прямая в -мерном пространстве (её можно задать как векторным уравнением: , где - фиксированные векторы, а - параметр, так и в виде пересечения гиперплоскостей ) является выпуклым множеством. Действительно, каждая гиперплоскость - выпуклое множество.

Определение: Функция , заданная на отрезке , называется выпуклой (или выпуклой книзу) на этом отрезке, если для всех и выполняется неравенство

и вогнутой (или выпуклой кверху), если выполняется неравенство

(То есть функция вогнута в том и только том случае, если функция выпукла.)

В левой части этого неравенства стоит значение функции в производной точке

отрезка между и (будем для простоты считать, что ), а в правой части неравенства - значение линейной функции , такой что и

Дата добавления: 2014-12-27