КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Тема № 2 Системы линейных алгебраических уравнений
Прямая проходит через точки О(0;0) и В(5;-15). Тогда ее угловой коэффициент равен... Расстояние между точками А(-1;1) и В(k;-3) равно 5 при k равном... Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Найти Х1; Х2; Х3 Обратной матрицей обладают £ все матрицы; £ все квадратные матрицы; £ невырожденные квадратные матрицы; £ вырожденные квадратные матрицы.
£ X1=83; X2=-20; X3=-30 £ X1=47; X2=-36; X3=-17 £ X1=92; X2=-40; X3=-10 £ X1=54; X2=-14; X3=-28 £ -1 £ 4 £ 2 £ 8 £5 £ -3 £ 3 £ -5 36.Прямая проходит через точки О(0;0) и В(25;15). Тогда ее угловой коэффициент равен… £3/5 £ 5/3 £ 5/3 £ -3/5
§ 2.1. Система линейных алгебраических уравнений, содержащей n уравнений и n неизвестных Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей n уравнений и n неизвестных, называется система вида (1), где aij, i = 1,2,… n; j = 1,2,…n - коэффициенты системы, bi, i = 1,2,… n - свободные члены, xi, i = 1,2,… n - неизвестные, подлежащие нахождению. Более удобной формой записи системы линейных уравнений (1) является матричная форма A·X = B, (2) где А - квадратная матрица n -го порядка, X – вектор столбец из неизвестных xi, i = 1,2,… n, B – вектор-столбец из свободных членов bi, i = 1,2,… n. Система уравнений (1) имеет единственное решение, если матрица А невырожденная, т.е. если определитель матрицы А отличен от нуля: D ¹ 0. Решение матричного уравнения (2) находится следующим образом: A- 1 AX = A- 1 B, EX = A- 1 B, X = A- 1 B. (3) Решение X = A- 1 B справедливо не только для векторов столбцов X и B, но и для произвольных матриц X и B, удовлетворяющих уравнению (2). Формула Крамера Решения системы линейных уравнений (1) определяются формулой Крамера , i= 1,2··· n, (4) где D i получается из определителя D путем замены i -го столбца свободными членами bi. Формула Крамера получается из решения системы X = A- 1 B. На самом деле, это решение в виде системы записывается как: . @ Задача 1. Найти решение системы . Решение: Решение системы уравнений находится с помощью формулы Крамера. 1. Находим определители , , , ; D = 4×2×3 + (–1)×5×(–1) + 2×3×1 – 2×2×(–1) – (–1)×3×3 – 4×5×1 = 28; D1 = 0×2×3 + (–1)×5×(–2) + 2×2×1 – 2×2×(–2) – (–1)×2×3 – 0×5×1 = 28; D2 = 4×2×3 + 0×5×(–1) + 2×3×(–2) – 2×2×(–1) – 0×3×3 – 4×5×(–2) = 56; D3 = 4×2×(–2) + (–1)×2×(–1) + 0×3×1 – 0×2×(–1) – (–1)×3×(–2) – 4×2×1 = – 28. 2. Решение системы равно: , , . Метод последовательных исключений неизвестных (метод Гаусса) С помощью коэффициентов и свободных членов составляется расширенная матрица , над строками которой можно произвести следующие элементарные преобразования. Разрешается изменить порядок строк; прибавлять к элементам произвольной строки элементы другой строки, умноженное на любое отличное от нуля число. При этом нужно стараться свести расширенную матрицу к «треугольному» виду, т.е. к виду, когда все элементы ниже (или выше) главной диагонали равны нулю. Из полученной расширенной матрицы решение находится непосредственно: . т.е. и т.д. @ Задача 2. Решить систему уравнений: . Решение: Составляем расширенную матрицу и сводим ее к «треугольному» виду: Þ Þ . После этого нетрудно найти решения: – 14x3 = – 14: x3 = 1; – 3x2 – 2x3 = – 2; x2 = 0; x1 + 2x2 + 3x3 = 2; x 1 = – 1.
§ 2.2. Система линейных алгебраических уравнений, содержащая m уравнений и n неизвестных Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида . Система уравнений называется совместной, если она имеет, хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет ни одного решения. Ответ на совместность системы дает теорема Кронекера-Капелли.
Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 778; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |