Общий случай 3 страница

Величина называется Модулем упругости первого рода или модулем Юнга и является механической характеристикой материала.

Если ввести относительное удлинение

и нормальное напряжение в поперечном сечении

то закон Гука в относительных единицах запишется как

В такой форме он справедлив для любых малых объёмов вещества.

Также при расчёте прямых стержней применяют запись закона Гука в относительной форме

Следует иметь в виду, что закон Гука выполняется только при малых деформациях. При превышении предела пропорциональности связь между напряжениями и деформациями становится нелинейной. Для многих сред закон Гука неприменим даже при малых деформациях.

И́мпульс (Количество движения) — векторная физическая величина, характеризующая меру механического движения тела. В классической механике импульс тела равен произведению массы m этого тела на его скорость v, направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:

.

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА Векторная сумма импульсов взаимодействующих тел, составляющих замкнутую систему, остается неизменной.

Энергия, работа, мощность

Работу постоянной силы на перемещение ее точки приложения измеряют произведением: A = F S cos a.

Работа по подъему тела массой m в поле тяготения равна: A = mgh.

Мощность,развиваемая постоянной силой ,cоставляющей угол a c направлением перемещения, может быть рассчитана по формуле: N =A/t =Fvcos a.

Кинетическая энергия тела: T = mv²/2.

Потенциальная энергия тела,поднятого над поверхностью Земли: П = mgh.

Полная механическая энергия системы складывается из кинетической и потенциальной: E = T + П.

Энергия упруго деформированного тела: П = kx²/2.

Закон сохранения энергии.

Полная механическая энергия консервативной системы постоянна.

E=E кин+ E внутр + Е внеш = const

Абсолютно упругий удар - соударение двух тел, в результате которого в обоих участвующих в столкновении телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия тел до удара после удара снова превращается в первоначальную кинетическую энергию (отметим, что это идеализированный случай).
Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения кинетической энергии и закон сохранения импульса.
Обозначим скорости шаров массами m₁ и m₂ до удара через ν₁ и ν₂, после удара - через ν₁' и ν₂' (рис. 1). Для прямого центрального удара векторы скоростей шаров до и после удара лежат на прямой линии, проходящей через их центры. Проекции векторов скоростей на эту линию равны модулям скоростей. Их направления учтем знаками: положительное соотнесем движению вправо, отрицательное - движению влево.

При указанных допущениях законы сохранения имеют вид
(1)

(2)
Произведя соответствующие преобразования в выражениях (1) и (2), получим
(3)

(4)
откуда
(5)
Решая уравнения (3) и (5), находим
(6)

(7)
Разберем несколько примеров.
1. При ν₂ =0

(8)
(9)
Проанализируем выражения (8) в (9) для двух шаров различных масс:
а) m₁=m₂. Если второй шар до удара висел неподвижно (ν₂ =0) (рис. 2), то после удара остановится первый шар (ν₁' =0), а второй будет двигаться с той же скоростью и в том же направлении, в котором двигался первый шар до удара (ν₂' = ν₁);

б) m₁>m₂. Первый шар продолжает двигаться в том же направлении, как и до удара, но с меньшей скоростью (ν₁' < ν₁). Скорость второго шара после удара больше, чем скорость первого после удара (ν₂' > ν₁') (рис. 3);

в) m₁<m₂. При ударе направление движения первого шара изменяется - шар отскакивает обратно. При этом второй шар движется в сторону, в которую двигался первый шар до удара, но с меньшей скоростью, т. е. ν₂' < ν₁ (рис. 4);

г) m₂>>m₁ (например, столкновение шара со стеной). Из уравнений (8) и (9) следует, что ν₁' = - ν₁; ν₂' ≈ 2m₁ ν₂' /m₂.
2. При m₁=m₂ выражения (6) и (7) будут иметь вид ν₁' = ν₂; ν₂' = ν₁; т. е. шары равной массы как бы обмениваются скоростями.
Абсолютно неупругий удар - соударение двух тел, в результате которого тела соединяются, двигаясь дальше как единое целое. Абсолютно неупругий удар можно продемонстрировать с помощью шаров из пластилина (глины), которые движутся навстречу друг другу (рис. 5).

Если массы шаров m₁ и m₂, их скорости до удара ν₁ и ν₂, то, используя закон сохранения импульса

где v - скорость движения шаров после удара. Тогда (15.10)
В случае движения шаров навстречу друг другу они вместе будут продолжать движение в ту сторону, в которую двигался шар с большим импульсом. В частном случае, если массы шаров равны (m₁=m₂), то
Определим, как изменяется кинетическая энергия шаров при центральном абсолютно неупругом ударе. Так как в процессе соударения шаров между ними действуют силы, зависящие от их скоростей, а не от самих деформаций, то мы имеем дело с дисипативными силами, подобным силам трения, поэтому закон сохранения механической энергии в этом случае не должен соблюдаться. Вследствие деформации происходит уменьшение кинетической энергии, которая переходит в тепловую или другие формы энергии. Это уменьшение можно определить по разности кинетической энергии тел до и после удара:
Используя (10), получаем
Если ударяемое тело было первоначально неподвижно (ν₂=0), то
и
Когда m₂>>m₁ (масса неподвижного тела очень велика), то ν << ν₁ и практически вся кинетическая энергия тела переходит при ударе в другие формы энергии. Поэтому, например, для получения значительной деформации наковальня должна быть значительно массивнее молота. Наоборот, при забивании гвоздей в стену масса молота должна быть гораздо большей (m₁>>m₂), тогда ν≈ν₁ и почти вся энергия тратится на возможно большее перемещение гвоздя, а не на остаточную деформацию стены.

Постоянный электрический ток. Сила и плотность тока. Сторонние силы. ЗДС и напряжение. Закон Ома. Сопротивление проводников. Работа и мощность тока. Закон Джоуля — Ленца. Закон Ома для неоднородного участка цепи

Постоянный электрический ток.

Электрический ток называется постоянным, если за равные промежутки времени через поперечное сечение проводника проходит одинаковый заряд (ток, параметры, свойства, и направление которого не изменяются (в различных смыслах) со временем).

Источниками постоянного тока являются гальванические элементы, аккумуляторы и генераторы постоянного тока.

Электрический ток имеет определенное направление. За направление тока принимают направление движения положительно заряженных частиц. Если ток образован движением отрицательно заряженных частиц, направление тока считают противоположным направлению движения этих частиц.

Сила и плотность тока.

Сила тока - скалярная физическая величина, равная отношению заряда, прошедшего через проводник, ко времени, за которое этот заряд прошел. I = , где I - сила тока, q - величина заряда (количество электричества), t - время прохождения заряда.

Плотность тока - векторная физическая величина, равная отношению силы тока к площади поперечного сечения проводника. j = , где j -плотность тока, S - площадь сечения проводника.

Направление вектора плотности тока совпадает с направлением движения положительно заряженных частиц. j=en(V), e – элементарный заряд, n – концентрация носителей заряда, V – средняя скорость упорядоченного движения носителей заряда.

Сторонние силы.

Силы неэлектростатического происхождения, действующие на заряды со стороны источников тока, называются сторонними.

Эти силы могут быть обусловлены химическими процессами, диффузией носителей тока в неоднородной среде, электрическими (но не электростатическими) полями, порождаемыми переменными во времени магнитными полями, и т. д. Всякое устройство, в котором возникают сторонние силы, называется источником электрического тока.

Сторонние силы совершают работу по перемещению электрических зарядов.

ЗДС и напряжение.

Электродвижущей силой источника тока называют отношение работы сторонних сил к величине положительного заряда, переносимого от отрицательного полюса источника тока к положительному. Ε = .

ЭДС можно выразить через напряжённость электрического поля сторонних сил (). В замкнутом контуре () тогда ЭДС будет равна:

, где — элемент длины контура.

Причиной электродвижущей силы может стать изменение магнитного поля в окружающем пространстве. Это явление называется электромагнитной индукцией. Величина ЭДС индукции в контуре определяется выражением

, где — поток магнитного поля через замкнутую поверхность , ограниченную контуром. Знак «−» перед выражением показывает, что индукционный ток, созданный ЭДС индукции, препятствует изменению магнитного потока в контуре (см правило Ленца).

Напряжение - скалярная физическая величина, равная отношению полной работе кулоновских и сторонних сил при перемещении положительного заряда на участке к значению этого заряда.

U = , где A - полная работа сторонних и кулоновских сил, q - электрический заряд.

Закон Ома.

В дифференциальной форме: j = γE, γ – удельная проводимость проводника, E – напряженность эл. поля.

Для однородного участка цепи: I = =

Для замкнутой цепи (φ1=φ2): I=

Закон Ома для неоднородного участка цепи.

I = =

Сопротивление проводников.

Электрическое сопротивление - физическая величина, характеризующая электрические свойства участка цепи(Ом). R = , где ρ - удельное сопротивление проводника, l - длина участка проводника, S - площадь поперечного сечения проводника.

Проводимостью называется величина, обратная сопротивлению G = , где G -проводимость.

Зависимость удельного сопротивления от температуры:

ρ=ρ₀(1+αt),

где ρ и ρ – удельные сопротивления соответственно при t и 0°С; t – температура ((Цельсия); α – температурный коэффициент сопротивления.

Сопротивление соединения проводников: 1) последовательного R= ; 2) параллельного 1/R=

Работа и мощность тока.

Работа электрического тока показывает, какая работа была совершена электрическим полем при перемещении зарядов по проводнику.(Дж)

A = IUt

Мощность (Вт) - Работа, совершаемая электрическим током в единицу времени (секунду). Эта величина характеризуется интенсивностью совершаемой током работы. Мощность определяют по формуле:

P = W / t = UIt / t = UI

Ватт - это мощность, при которой за секунду равномерно производится работа в один джоуль. Тогда формула, приведенная выше, может быть записана следующим образом: W = Pt

Единица измерения электрической энергии - киловатт-час (кВт·ч) - представляет собой работу, совершаемую при постоянной мощности в 1 кВт в течение 1 ч.

Выражение мощности электрического тока можно преобразовать, заменив на основании закона Ома напряжение U = IR. В результате получим три выражения мощности электрического тока

P = UI = I²R = U²/R

Закон Джоуля - Ленца.

Электрический ток, протекая через проводник, нагревает его. Количество тепла, выделяющегося в проводнике, определяют по формуле Q = I²Rt. Эта зависимость называется законом Джоуля—Ленца.

В дифференциальной форме: ω=γE², γ – удельная проводимость проводника, E – напряженность эл. поля, ω – объемная плотность тепловой мощности.

Магнитное поле и его характеристики. Закон Био-Савара-Лапласа и его применение к расчету магнитного поля. Магнитное поле прямого тока. Магнитное поле кругового проводника с током. Закон Ампера. Взаимодействие параллельных токов. Магнитное поле движущегося заряда. Действие магнитного поля на движущийся заряд. Движение заряженных частиц в магнитном поле. Эффект Холла. Теорема полного тока. Магнитное поле соленоида и тороида. Поток вектора магнитной индукции. Работа по перемещению проводника в магнитном поле

Магнитное поле и его характеристики

Опыт показывает, что, подобно тому, как в пространстве, окружающем электриче­ские заряды, возникает электростатиче­ское поле, так в пространстве, окружаю­щем токи и постоянные магниты, возника­ет силовое поле, называемое магнитным. Электрическое поле действует как на неподвижные, так и на движущиеся в нем электрические заряды. Важнейшая особенность магнитного поля состоит в том, что оно действует только на движущиеся в этом поле электрические заряды.

Рамкой с током можно воспользовать­ся для количественного описания магнитного поля. Так как рамка с током испытывает ориентирующее действие по­ля, то на нее в магнитном поле действует пара сил. Вращающий момент сил зависит как от свойств поля в данной точке, так и от свойств рамки:

М =[ р _m В ], (109.1), где В — вектор магнитной индукции, яв­ляющейся количественной характеристи­кой магнитного поля, р_m — вектор магнит­ного момента рамки с током. Для плоского контура с током I

p _m = I S n, (109.2), где S — площадь поверхности контура (рамки), n —единичный вектор нормали к поверхности рамки. Направление р _m совпадает, таким образом, с направлением положительной нормали.

Если в данную точку магнитного поля помещать рамки с различными магнитны­ми моментами, то на них действуют раз­личные вращающие моменты, однако от­ношение M_max/p_m (М_max — максимальный вращающий момент) для всех контуров одно и то же и поэтому может служить характеристикой магнитного поля, назы­ваемой магнитной индукцией:

В=М_max/р_m.

Магнитная индукция в данной точке однородного магнитного поля определяет­ся максимальным вращающим моментом, действующим на рамку с магнитным мо­ментом, равным единице, когда нормаль к рамке перпендикулярна направлению поля. Так как магнитное поле является сило­вым, то его, по аналогии с электрическим, изображают с помощью линий магнитной индукции — линий, касательные к кото­рым в каждой точке совпадают с направ­лением вектора В. Их направление зада­ется правилом правого винта: головка винта, ввинчиваемого по направлению то­ка, вращается в направлении линий маг­нитной индукции.

Вектор маг­нитной индукции В характеризует резуль­тирующее магнитное поле, создаваемое всеми макро- и микротоками, т. е. при одном и том же токе и прочих равных условиях вектор В в различных средах будет иметь разные значения.

Магнитное поле макротоков описыва­ется вектором напряженности Н. Для од­нородной изотропной среды вектор маг­нитной индукции связан с вектором на­пряженности следующим соотношением:

В =m₀m Н, где m₀ — магнитная постоянная, m — без­размерная величина — магнитная прони­цаемость среды, показывающая, во сколь­ко раз магнитное поле макротоков Н уси­ливается за счет поля микротоков среды. Сравнивая векторные характеристики электростатического (Е и D) и магнитного (В и Н) полей, укажем, что аналогом вектора напряженности электростатиче­ского поля Е является вектор магнитной индукции В, так как векторы Е и В опреде­ляют силовые действия этих полей и за­висят от свойств среды. Аналогом вектора электрического смещения D является век­тор напряженности Н магнитного поля.

Закон Био — Савара — Лапласа и его применение к расчету магнитного поля

Закон Био — Савара — Лапласа для проводника с током I, элемент которого d l создает в некоторой точке А (рис. 164) индукцию поля d B, записывается в виде

где d l — вектор, по модулю равный длине d l элемента проводника и совпадающий по направлению с током, r — радиус-вектор,проведенный из элемента d l проводника в точку А поля, r — модуль радиуса-векто­ра г. Направление d B перпендикулярно d l и r, т. е. перпендикулярно плоскости, в ко­торой они лежат, и совпадает с каса­тельной к линии магнитной индукции. Это направление может быть найдено по пра­вилу нахождения линий магнитной индук­ции (правилу правого винта): направле­ние вращения головки винта дает направ­ление d B, если поступательное движение винта соответствует направлению тока в элементе.

Модуль вектора d B определяется вы­ражением

где а — угол между векторами dl и г.

Для магнитного поля, как и для элек­трического, справедлив принцип суперпо­зиции: магнитная индукция результирую­щего поля, создаваемого несколькими то­ками или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каж­дым током или движущимся зарядом в от­дельности:

1. Магнитное поле прямого тока — тока, текущего по тонкому прямому про-воду бесконечной длинны

2. Магнитное поле в центре кругового проводника с током (рис. 166). Как следу­ет из рисунка, все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитное поле одинакового направления — вдоль нормали от витка.

Закон Ампера. Взаимодействие параллельных токов

Магнитное поле оказывает на рамку с током ориентирующее действие. Следовательно, вращающий момент, ис­пытываемый рамкой, есть результат дейст­вия сил на отдельные ее элементы. Обоб­щая результаты исследования действия магнитного поля на различные проводники с током, Ампер установил, что сила d F, с которой магнитное поле действует на элемент проводника d l с током, находяще­гося в магнитном поле, прямо пропорцио­нальна силе тока I в проводнике и век­торному произведению элемента дли-

ной d l проводника на магнитную индук­цию В:

d F = I [d l, В ].

Закон Ампера применяется для опре­деления силы взаимодействия двух токов. Рассмотрим два бесконечных прямолиней­ных параллельных тока I ₁и I ₂, расстоя­ние между которыми равно R. Каждый из проводников создает магнитное поле, ко­торое действует по закону Ампера на дру­гой проводник с током. Рассмотрим, с ка­кой силой действует магнитное поле тока I ₁ на элемент d l второго проводника с то­ком I ₂. Ток I ₁ создает вокруг себя магнит­ное поле, линии магнитной индукции кото­рого представляют собой концентрические окружности. Направление вектора b ₁ за­дается правилом правого винта, его мо­дуль по формуле равен

Можно пока­зать, что сила d F ₂, с которой магнитное поле тока I ₂ действует на элемент d l пер­вого проводника с током I ₁, направлена в противоположную сторону и по модулю равна

Сравнение выражений (111.3) и (111.4) показывает, что dF₁=dF₂, т. е. два параллельных тока одинакового направления притягиваются друг к другу с силой

Если токи имеют противоположные на­правления, то, используя правило левой руки, можно показать, что между ними действует сила отталкивания, определяе­мая формулой (111.5).

Магнитная постоянная. Единицы магнитной индукции и напряженности магнитного поля

Закон Ампера позволяет определить единицу магнитной индукции В. Предпо­ложим, что элемент проводника d l с током I перпендикулярен направлению магнит­ного поля. Тогда закон Ампера (см. (111.2)) запишется в виде

dF=IBdl, откуда Единица магнитной индукции — тесла (Тл): 1 Тл—магнитная индукция такого однородного магнитного поля, которое действует с силой в 1 Н на каждый метр длины прямолинейного проводника, распо­ложенного перпендикулярно направлению поля, если по этому проводнику проходит ток в 1 А: 1Тл=1Н/(А•м). Единица напряженности магнитного поля — ампер на метр (А/м): 1 А/м — напряженность такого поля, магнитная индукция которого в вакууме равна 4p•10^-7 Тл.

Магнитное поле движущегося заряда

Каждый проводник с током создает в ок­ружающем пространстве магнитное поле. Электрический же ток представляет собой упорядоченное движение электрических зарядов. Поэтому можно сказать, что лю­бой движущийся в вакууме или среде за­ряд создает вокруг себя магнитное поле. В результате обобщения опытных данныхбыл установлен закон, определяющий по­ле В точечного заряда Q, свободно движу­щегося с нерелятивистской скоростью v. Под свободным движением заряда по­нимается его движение с постоянной ско­ростью. Этот закон выражается формулой где r — радиус-вектор, проведенный от за­ряда Q к точке наблюдения М (рис. 168). Согласно выражению (113.1), вектор В направлен перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторы v и г, а именно: его направление совпадает с на­правлением поступательного движения правого винта при его вращении от v к г. Модуль магнитной индукции (113.1) вычисляется по формуле где а — угол между векторами v и r.

Сравнивая выражения (110.1) и (113.1), видим, что движущийся заряд по своим магнитным свойствам эквива­лентен элементу тока:

I d l =Q v.

Действие магнитного поля на движущийся заряд

Магнитное поле дей­ствует не только на проводники с током (см. §111), но и на отдельные заряды, движущиеся в магнитном поле. Сила, дей­ствующая на электрический заряд Q, дви­жущийся в магнитном поле со скоростью v, называется силой Лоренца и выражает­ся формулой

F = Q [ vB ], (114.1) где В — индукция магнитного поля, в котором заряд движется.

Направление силы Лоренца определя­ется с помощью правила левой руки: если ладонь левой руки расположить так, что­бы в нее входил вектор В, а четыре вы­тянутых пальца направить вдоль вектора v (для Q> 0 направления I и v совпада­ют, для Q <0—противоположны), то отогнутый большой палец покажет на­правление силы, действующей на положи­тельный заряд. На рис. 169 показана вза­имная ориентация векторов v, В (поле направлено к нам, на рисунке показано точками) и F для положительного заряда. На отрицательный заряд сила действует в противоположном направлении.

Дата добавления: 2015-04-24