Формулы прямоугольников

Лекция 25. Приближенное вычисление интеграла.

Часто нужно вычислить интеграл , а аналитически это сделать невозможно (интеграл не берется) или слишком громоздко. Тогда применяют приближенные методы вычисления интеграла на отрезке, по которым пишут алгоритмы и программы реализации этих методов на ЭВМ. Численный расчет дает значение интеграла с некоторой погрешностью, которая зависит как от погрешности метода, так и от погрешности вычислений. Чаще всего рассматривают равномерную сетку, разбивая отрезок на отрезки длины шагом h: .

Обозначим . Заменим интеграл интегральной суммой, вычисляя площадь под графиком функции как сумму площадей прямоугольников с основанием h, высотами .

Если на первом отрезке высоту прямоугольника можно выбрать как , тогда на последнем отрезке высота прямоугольника . Получим первую формулу прямоугольников

.

Если на первом отрезке высоту прямоугольника можно выбрать как , тогда на последнем отрезке высота прямоугольника . Получим вторую формулу прямоугольников

.

Оценим погрешность формул прямоугольников. Разложим в ряд Тейлора и оценим остаточный член.

Для первой формулы прямоугольников

где .

Для второй формулы прямоугольников

где .

Таким образом, обе формулы прямоугольников дают погрешность порядка h и являются формулами первого порядка точности.

Можно повысить точность формулы прямоугольников за счет вычисления функции в серединах отрезков разбиения. Получаем третью формулу прямоугольников

.

Оценим погрешность этой формулы.

+

+0+

Таким образом, погрешность третьей формулы прямоугольников не превышает , где . Эта формула прямоугольников имеет второй порядок точности.

Дата добавления: 2015-04-24