Устойчивость разностной схемы

Аппроксимация с порядком.

Сходимость разностной схемы с порядком.

Решение сходится к с порядком , если .

.

Пусть задача имеет единственное решение.

Пусть ( - невязка).

Разностная задача аппроксимирует дифференциальную задачу на решении

с порядком , если .

Пример. Рассмотрим схему Эйлера для задачи .

Разностная задача , ,

. Поэтому

= . То есть, , следовательно, схема Эйлера дает аппроксимацию первого порядка.

Замечание. Ошибку аппроксимации можно оценить по правилу Рунге, решая дифференциальное уравнение с шагом , а затем с шагом и сравнивая решения: , где - порядок аппроксимации.

Разностная схема называется устойчивой, если разностная задача имеет единственное решение такое, что .

Другими словами, при малых возмущениях мало возмущается .

Теорема. Пусть разностная схема аппроксимирует дифференциальную задачу на решении с порядком и устойчива. Тогда решение разностной задачи сходится к с порядком , причем . Здесь - константа аппроксимации, С – константа устойчивости.

Доказательство. Пусть , тогда по единственности решения (определение устойчивости) и определению аппроксимации . Тогда

(при имеем ).

Содержание.

Лекция 1 Неопределенный интеграл, таблица интегралов. 2

Лекция 2. Методы интегрирования и таблица интегралов. 4

Лекция 3. Интегрирование рациональных функций. 8

Лекция 4. Интегрирование иррациональных и 14

тригонометрических функций.

Лекция 5. Определенный интеграл. 18

Лекция 6. Формула Ньютона – Лейбница. 22

Лекции 7, 8 Несобственные интегралы. 25

Лекции 9-10. Приложения определенного интеграла. 32

Лекция 11. Дифференциальные уравнения. 37

Лекция 12. Основные типы дифференциальных уравнений 39

первого порядка.

Лекция 13. Геометрическая интерпретация дифференциальных 47

уравнений 1 порядка, изоклины. Особые точки и особые

решения.

Лекция 14. Дифференциальные уравнения высших порядков. 50

Лекции 15–16. Линейные дифференциальные уравнения 53

n –ого порядка с переменными коэффициентами.

Лекции 17-18. Линейные дифференциальные уравнения с 61

постоянными коэффициентами.

Лекции 19-20. Нормальные системы дифференциальных уравнений. 68

Лекция 21. Системы линейных дифференциальных уравнений. 76

Лекция 22. Однородные системы линейных дифференциальных 82 уравнений с постоянными коэффициентами.

Лекции 23-24. Устойчивость движения, классификация точек покоя, 87

теоремы Ляпунова.

Лекция 25. Приближенное вычисление интеграла. 95

Лекция 26. Обзор численных методов решения задачи Коши 98

Дата добавления: 2015-04-24