Методы Рунге – Кутта

Методы, основанные на разложении функции в ряд Тейлора.

Запишем разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки

Рассмотрим равномерную сетку по

Пусть , тогда разложение функции в ряд Тейлора можно записать в виде

, где

Подставим в из дифференциального уравнения

Тогда

.

Это – основная расчетная формула.

Учитывая в слагаемые с производными высших порядков, получим более точные приближенные формулы.

Если взять , то получим метод Эйлера

Основная идея методов Рунге – Кутта – вместо вычисления производных высших порядков в вычислять значения функции в некоторых точках, отличных от .

Выберем

=

Разложим по h

= + =

Сравним с приведенной выше основной расчетной формулой

.

и определим коэффициенты

.

Пусть , тогда .

Если . Тогда

.

= .

Это – метод Хойна.

Если в формуле . выбрать ,

то получим явный m – шаговый (m – точечный) метод Рунге – Кутта.

Наиболее распространен явный четырехточечный метод Рунге – Кутта

В явных методах Рунге – Кутта значения вычисляются только по предыдущим значениям .

В неявных методах Рунге – Кутта значения вычисляются как по предыдущим , так и по последующим значениям . Поэтому в этих методах приходится еще решать систему уравнений относительно .

Неявный m – шаговый метод Рунге – Кутта можно записать в виде

.

,

Дата добавления: 2015-04-24