Лекция 26. Обзор численных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Формула Симпсона.

Аппроксимируем функцию на отрезке разбиения квадратичной функцией так, чтобы

Лемма. .

Докажем лемму для . Сделаем замену .

Тогда формула сведется к следующей:

.

Левая часть

Правая часть . Лемма доказана.

Разобьем теперь отрезок интегрирования на 2n частей, (). Применим лемму к отрезкам , ,..., получим формулу Симпсона

.

Можно показать, что формула Симпсона – формула четвертого порядка точности, ее погрешность не превосходит , где . Это означает, что при интегрировании многочлена третьей степени формула Симпсона точна, ее погрешность равна нулю.

Пример. Вычислить приближенно I = с шагом .

1 формула прямоугольников ,

2 формула прямоугольников ,

3 формула прямоугольников ,

Формула трапеций .

Формула Симпсона

Будем рассматривать схемы численных методов для уравнения первого порядка

.

Это – самый простой случай, но к нему по аналогии сводятся схемы методов для системы дифференциальных уравнений и для дифференциального уравнения n- го порядка.

Дата добавления: 2015-04-24