Статистическое оценивание уравнения регрессии и парной корреляции

После построения уравнения регрессии по МНК проводят оценивание значимости коэффициентов уравнения регрессии и коэффициента корреляции, а также значимость уравнения в целом. Рас-
смотрим оценивание на примере полученного уравнения
у = 0,71+1,07 x по результатам эксперимента, зафиксированного в
табл. 3.2.

1. Для статистического оценивания коэффициентов уравнения
регрессии проверяют нулевую гипотезу Н: В = 0, т.е. отличается
ли статистически значимо оценка коэффициента регрессии от нуля.
Границу значимости устанавливают по критерию Стьюдента:

где b — выборочная оценка коэффициента уравнения регрессии;

В — значение коэффициента уравнения регрессии в генеральной совокупности;

S(b) — среднее квадратическое отклонение коэффициента b;

— значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы n - 2 и уровне значимости α(см. приложение 2).

Если условие выполняется, то гипотезу Н ₀: В = 0
отклоняют, т.е. коэффициент уравнения регрессии значимо отличается от нуля.

Пример. По данным примера в табл. 3.2 произвести статистическую оценку коэффициентов уравнения регрессии

= 0,71+ 1,07 х.

Р е ш е н и е. Вычисляем статистику для коэффициентов b ₀ и b ₁.

где средние квадратические отклонения вычисляем по формулам:

При числе степеней свободы k = n — 2 = 18 — 2 = 16 и уровне
значимости,

α = 0,1 по таблице (см. приложение 2) определяем значение критерия Стьюдента

Сравниваем:

Отсюда делаем заключение, что коэффициент b ₀ незначим, т.е.
принимается гипотеза Н₀: В = О, а коэффициент b ₁значим, т.е.
гипотеза Н₀: В = 0 отклоняется. Тогда уравнение регрессии из вида должно быть преобразовано в уравнение
с доверительной вероятностью (надежностью) Р = 0,9.

2. Для статистического оценивания коэффициента корреляции
проверяют нулевую гипотезу Н₀: R = 0, где R — коэффициент
корреляции в генеральной совокупности. Границу значимости устанавливают по критерию Стьюдента

Если это условие выполняется, то гипотезу Н₀: R = 0 отклоня-
ют, т.е. коэффициент r принимается значимым.

Пример. По данным примера в табл. 3.2 следует определить значимость коэффициента корреляции r= 0,987.

Р е ш е н и е. Вычисляем статистику t для коэффициента
корреляции

При уровне значимости α = 0,1и числе степеней свободы n - 2 = 18 - 2 = 16 по таблице (см. приложение 2) выбираем значение

При условии t_r = 24,56 > t_16;0,1 = 1,746 гипотеза H ₀: R = 0 отклоняется, т.е. полученный коэффициент корреляции является значимым.

3. Для проверки значимости полученного уравнения регрессии,
т.е. его адекватности результатам эксперимента, используют критерий Фишера

где — дисперсия случайной величины Y,

— остаточная дисперсия,

Величина у вычисляется для каждого из n по формуле
= b₀ + b₁х_i, а затем находится разность экспериментального и
теоретического у _i значения по всем n экспериментам. Остаточная дисперсия имеет важное значение в статистических
исследованиях, так как она представляет собой показатель ошибки
предсказания уравнением регрессии результатов опыта.

Критерий находится по таблице (см. приложение 6) по
заданному уровню значимости а, числу степеней свободы k₁ для
S²(Y) и k₂ для S²(Y)_ост принимают для n испытаний: k₁ = n — 1;
k₂ = n — 2. Если условие F_b > F_k1;k2;a выполняется, то уравнение
регрессии адекватно описывает статистические данные, т.е. оно статистически значимо для полученных в результате эксперимента данных.

Пример. Проверить значимость уравнения регрессии
y=1,067 х по данным, вычисленным по табл. 3.2 при b₀ = 0 и
b₁ = 1,067.

Р е ш е н и е. Вычисляем F_b статистику

Принимаем уровень значимости, α = 0,1 и при числе степеней
свободы k₁ = 18 - 1 = 17; k₂ = 18 - 2 = 16, по таблице
(см. приложение 6) находим значение критерия Фишера

Сравниваем =F_17;16;0,1 = 1,94.

F_b =3,13>F_17;16;0,1 =1,94 =1,067х,

т.е. уравнение регрессии = 1,067 х адекватно описывает результаты эксперимента.

4. Для проверки линейности уравнения регрессии используется
следующий подход. Так как изменение функции отклика Y носит
случайный характер, то при каждом значении Х рекомендуется проводить по несколько экспериментов, чтобы для данного значения Х
получить некоторое среднее значение Y.

В этом случае экспериментальный материал табл. 5.2 представляется в виде табл. 5.6, в которой принимается k уровней Х, а число значений Y для Х_i берется равным m _i. Общее число экспериментов равно:

Значение Y в j -том эксперименте для Х _i обозначаем как Y _ij,
среднее значение для Х _i равно:

Для проверки линейности уравнения регрессии вычисляется
F_л статистика

которая сравнивается с критерием Фишера при уровне значимости α и степенях свободы испытаний k ₁ = n — 1, k ₂ = n — 2.
При F_л< — гипотеза о линейности уравнения регрессии принимается, а при F_л> гипотеза олинейности отвергается.

Во втором случае для описания экспериментального материала
необходимо выбрать нелинейную модель (табл. 5.8).

Таблица 5.8

Обработка результатов наблюдений

Уровни значений Xi	Полученные значения Y при Xi	Число опытов mi	сред- нее значе- нне уi	Сумма квадра- тов раз- ности	(при b0=0, b1 =1,07)	Вычисления
					2,00	2,00	1,070	0,93	2,611
					2,67	1,11	2,140	0,53	0,861
					4,00	2,00	3,210	0,79	1,915
					5,00	2,00	4,280	0,72	1,607
					5,33	2,67	5,350	0,02	0,07
					7,67	0,33	6,420	1,25	4,823
					26,67	10,11	22,47	4,24	11,82

Пример. По результатам наблюдений, приведенных в табл. 5.1,
проверить линейность уравнения регрессии у = 1,07 x.

Р е ш е н и е. Результаты наблюдений табл. 5.1 обрабатываем и
представляем в виде табл. 5.6. Определяем F _лстатистику

При уровне значимости, а = 0,05и числе степеней
k ₁ = 6 - 2 = 4; k ₂ = 18 - 6 = 12 по таблице (см. приложение 6, в)
выбираем F _4;12;0,05 = 5,91.

Сравниваем F _л = 3,5 < F _4;12;0,05 = 5,91.

Следовательно, гипотезу о линейности уравнения регрессии
у = 1,07к следует принять.

5. Доверительные интервалы для уравнения регрессии определяются по формуле

где — значение уравнения регрессии для х_i, полученное МНК;

— средняя ошибка отдельного значения у _i;

При заданной величине уровня значимости α и числе степеней
свободы k = n -1, величина t _α;k принимается по таблице
(см. приложение 2).

Для нашего примера при х _i. = 1, = 1,07:

При α = 0,1; k = 18 — 1 = 17; t_0,1;17 = 1,740,
тогда
Отсюда для х_i=1 и у_i= 1,07:

1,07 - 0,82 1,07+ 0,82;

0,25 1,89.

Величина ошибки = зависит от того, насколько далеко
отстоит каждое значение х _i от среднего х. Ошибка коэффициента
корреляции определяется по формуле

Доверительный интервал имеет вид

Для нашего примера

при t _0,1;17=1

назад

Дата добавления: 2015-04-24