Группа, свойства группы

Определение 7. Непустое множество G с заданной алгебраической операцией называется группой, если

1) – ассоциативная операция;

2) в G нейтральный элемент ;

3) симметричный элемент из

Если – коммутативная операция, то группа называется коммутативной или абелевой.

Операция, относительно которой G − группа, называется групповой операцией. Если групповая операция − умножение, то группа называется мультипликативной, если – сложение, то G – аддитивная группа.

Примеры.

1. (N,+) ­– коммутативная полугруппа без нейтрального элемента.

2. (N, ) ­– коммутативная полугруппа с нейтральным элементом.

3. (Z, +) – аддитивная абелева группа.

4. (Q, +) – аддитивная абелева группа.

5. (R, +) – аддитивная абелева группа.

6. (R, ) – абелева полугруппа с нейтральным элементом.

7. (R ) – мультипликативная абелева группа.

8. – абелева группа: .

9. Множество векторов на плоскости или в пространстве относительно операции сложения образуют абелеву группу.

Дата добавления: 2015-04-25