Кольцо, свойства кольца

Свойства группы.

1) В группе G нейтральный элемент и симметричный элемент.

Доказательство следует из теорем 1 и 2.

2) Для уравнения имеют единственное решение:

, .

Доказательство. Покажем, что – решение уравнения . Имеем: , то есть − решение.

Если – другое решение, то после умножения слева на – единственное решение. Аналогично для другого уравнения.

3) Закон сокращения в группе. Если .

Доказательство следует из свойства 2).

В алгебре изучаются множества и с несколькими, например, с двумя, алгебраическими операциями.

Определение 9. Непустое множество K называется кольцом и обозначается (K ), если выполняются условия:

1) (K, +) – абелева группа;

2) умножение ассоциативно, то есть ;

3) умножение дистрибутивно относительно сложения, то есть

, .

Кольцо называется коммутативным (понятия абелева кольца нет!), если умножение коммутативно. Если относительно умножения существует нейтральный элемент, то кольцо называется кольцом с единицей.

Дата добавления: 2015-04-25