Критерий Найквиста

13)

Частотные критерии устойчивости. Критерий Михайлова.

Рассмотрим характерную функцию, соответствующую характеристическому уравнению:

,

если корни известны, то можно записать:

,

где S₁,S₂,...,S_n – корни характеристического уравнения, которые будем обозначать S_i, i изменяется от 1 до n.

На комплексной плоскости каждый корень S_i изображается вектором, проведенным из начала координат к точке S_i, а разность S-S_i – вектором проведенным из точки S_i к некоторой точке плоскости S.

Положим S=iw. Тогда все S окажутся на мнимой оси, получим:

Концы векторов iw-S_i всегда будут находиться на мнимой оси, модуль вектора f(iw) будет равен произведению модулей элементарных векторов, а аргумент сумме аргументов элементарных векторов.

При изменении частоты w от -¥ до ¥ каждый элементарный вектор повернется на угол +p, если его начало лежит в левой полуплоскости и на -p, если в правой. Отсюда следует, что результирующий вектор f(iw), при изменении w от -¥ до ¥, повернется на угол y=(n-m)p-mp, где m – число корней в правой полуплоскости. Если система устойчива, то все корни лежат в левой полуплоскости m=0, тогда:

Система устойчива, если ее характеристический вектор f(iw), при изменении w от -¥ до ¥, повернется в положительном направлении на угол pn, где n – степень характеристического уравнения.

Кривая, описываемая концом вектора f(iw), называется характеристической прямой или гадографом Михайлова.

Так как функция U(w) является четной, а V(w) нечетной, гадограф Михайлова будет симметричен относительно вещественной оси. Поэтому достаточно строить одну ветвь w от 0 до ¥, в этом случае критерий Михайлова формулируется следующим образом:

Для того чтобы СУ была устойчива необходимо и достаточно, чтоб гатограмма Михайлова начинаясь на положительной части вещественной оси, при изменении w от 0 до ¥, последовательно в положительном направлении проходил n квадранта, где n – степень характеристического уравнения системы.

Строим гадограф Михайлова для устойчивой системы:

Рис.3.4.3

Возможен случай для неустойчивой системы:

Рис.3.4.4

Строить гадограф вовсе не обязательно: из критерия следует правило чередования корней уравнений:

U(w)=0 – действительная часть,

V(w)=0 – мнимая часть.

Чтоб система была устойчивой необходимо и достаточно, чтоб нули функции U(w) и V(w) были вещественными и чередовались между собой, и кроме того:

Для устойчивой системы:

Рис.3.4.5

Система не устойчива, условие не выполняется:

Рис.3.4.6

Для обоих графиков справедливым будет w₀<w₁<w₂<w₃<...<w_n

Частотный критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости системы управления замкнутого типа по разомкнутой цепи этой системы.

Запишем функцию разомкнутой системы:

,

где W_oc=1 – в простейшем случае, тогда:

Рассмотрим функцию j(S)=1+W_p(S):

Числитель – это характеристический полином замкнутой системы (знаменатель ее передаточной функции), а знаменатель – характеристический полином той же системы в разомкнутом состоянии.

Пусть S_k – корни характеристического уравнения в замкнутом состоянии, - корни характеристического уравнения системы в разомкнутом состоянии, тогда распишем j(S):

Если система в разомкнутом состоянии устойчива, то все корни лежат в левой полуплоскости. Если система в замкнутом состоянии устойчива, то все корни S_k лежат в левой полуплоскости, тогда при изменении w от -¥ до ¥ каждый вектор и повернется на угол +p, а вектора представляющие собой числитель и знаменатель функции j повернуться на угол +pn. Приращение аргумента вектора j (iw) будет равно разности приращения векторов в числителе и знаменателе, т.е. , следовательно гадограф вектора j(iw) не охватывает начала координат (в координатах связанных с функцией j). Это равенство является условием устойчивости системы замкнутого типа, если она устойчива в разомкнутом состоянии.

Если вектор j(iw)=1+W_p(iw) изобразить на комплексной плоскости W_p, то при изменении w он будет поворачиваться относительно точки с координатами (–1,0), а конец его будет скользить по АФЧХ W_p(iw). Достаточно построить одну ветвь для w от 0 до ¥.

Критерий Найквиста

Для того чтобы система замкнутого типа была устойчивой, если она устойчива в разомкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы гадограф W_p не охватывал точку (-1,0). Точка (-1,0)- критическая.

Если система в разомкнутом состоянии неустойчива и имеет m полюсов в правой полуплоскости, то для того, чтобы система в замкнутом состоянии была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы гадограф W_p(iω) при изменении ω от 0 до ∞ охватывал точку (-1,0) в поллжительном направлении

Дата добавления: 2015-04-29