Алгебраический критерий устойчивости

12)

11)

Исследования устойчивости по уравнениям первого приближения.

Во многом случайные не линейные функции Q_i(q₁,q₂,q₃,...,q_n,t) уравнений возмущенного движения можно представить степенными рядами, сходящимися в окрестности начала координат, тогда исследования не линейных уравнений может быть заменено исследованием линейных уравнений первого приближения.

Представляя правые части с помощью степенных рядов, получим:

Все частные произведения соответствуют началу координат. q₁,q₂,...,q_n – малое отклонение от начала координат.

Введем обозначения:

Пренебрегая членами высших порядков, получим уравнение первого приближения – линейные уравнения:

Общим решением такой системы, полученным в виде суммы произведений частных решений, умноженных на произвольные постоянные. Частные решения записываются в виде:

q_i=A_ie^St,

где S,A₁,A₂,...,A_n – постоянные величины, принадлежащие определению.

Подставив эти решения в уравнения, сокращая на e^St¹0, получим систему однородных алгебраических уравнений:

Параметр S – останется все равно, очевидное нулевое решение означает либо состояние покоя, либо отсутствие начального возмущения, поэтому при исследовании устойчивости рассмотрим только не нулевые решения их можно получить если определитель системы равен 0.

Раскрывая определитель, получим характеристическое уравнение, преобразовав и упростив к виду:

,

где a₀,a₁,...,a_n – однозначно связаны с известными величинами А₁₁,...,А_nn.

Можно показать, что характеристическое уравнение – это знаменатель передаточной функции системы приравненный к нулю.

Характеристическое уравнение – основа исследования системы на устойчивость.

Ляпунов показал, что при исследовании устойчивости движения по уравнению первого приближения, можно встретиться с двумя категориями случаев, связанных с расположением корней характеристического уравнения на комплексной плоскости. Ляпунов назвал эти случаи обыкновенными и критическими.

Критическим называется случай, когда среди корней S_i есть хотя бы один с вещественной частью равной нулю, а у остальных корней вещественные части отрицательны. Все остальные случаи называются обыкновенными.

В обыкновенном случае решение задачи об устойчивости по уравнению первого приближения является так же решением исходных не линейных уравнений. В критических случаях решение задачи об устойчивости по уравнению первого приближения, в общих случаях не возможно.

Основные теоремы Ляпунова.

Эти теоремы позволяют сделать вывод об устойчивости системы по результатам исследования линеаризованной.

Теорема 1. Если все корни S_i характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части, то невозмущенное движение q_i=0 асимптотически устойчиво, независимо от вида отброшенных при линеаризации не линейных схемах.

Теорема 2. Если среди корней S_i имеется хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то не возмущенное движение не устойчиво не зависимо от отброшенных при линеаризации не линейных членов.

Если характеристическое уравнение не имеет корней с положительной вещественной частью, но имеет хотя бы один корень с нулевой вещественной частью, то не возмущенное движение может быть как устойчивым, так и не устойчивым, что зависит от отброшенных при линеаризации членов.

Следует отметить, что методы исследования устойчивости, основанные на теории Ляпунова применимы только для стационарной линеаризуемой системы.

Рис.3.2.

Согласно теоремам Ляпунова: асимптотической устойчивости необходимо и достаточно чтобы вещественные части всех корней характеристического уравнения линеаризованной системы были отрицательны.

Коэффициенты характеристического уравнения определяются физическими параметрами системы. При изменении коэффициентов корни непрерывно меняют свое расположение на комплексной плоскости. Вся комплексная плоскость разбивается, таким образом, на две области: область устойчивости (левая полуплоскость) и область не устойчивости (правая полуплоскость). Граница устойчивости – мнимая ось. Если корни уравнения определены, то вопрос об устойчивости системы решается сразу (по теоремам Ляпунова).

Однако сложность вычисления корней резко возрастает с увеличением порядка уравнения. Но ведь корни знать и не надо: нужно лишь определить находятся ли они в левой полуплоскости или нет. В связи с этим были поставлена и решена задача: зная коэффициенты характеристического уравнения и не решая его найти критерий, позволяющий определить: имеют ли все корни характеристического уравнения отрицательные вещественные части или нет.

При помощи критериев устойчивости решать задачи анализа и синтеза СУ.

Задача анализа: заданны все параметры, т.е. известны коэффициенты характеристического уравнения. Требуется исследовать устойчивость СУ.

Задача синтеза: заданы не все параметры, требуется определить области значений неизвестных параметров, при которых система управления будет устойчивой.

Дата добавления: 2015-04-29