Понятие устойчивости. Устойчивость не возмущенного движения по А.М. Ляпунову

10)

Работоспособность СУ должна быть, прежде всего, устойчивой. Система считается устойчивой, если после прекращения действия возмущающих сил, которые вызывают отклонения движения от задуманного, система стремиться вернуться к заданному исходному движению.

По существу все СУ не линейными, некоторые из них описываются дифференциальными уравнениями, которые могут быть линеаризованы. Ляпунов доказал, что об устойчивости линеаризуемой системе в ряде случаев можно судить по их линейной модели, а так же показал в каких случаях судить об устойчивости по линейной модели нельзя.

Уравнение движения системы в фазовых переменных:

Начальные условия t=t₀, x_i(t₀)=x_i0

Будем считать, что начальные условия соответствуют невозмущенному движению системы.

Предположим, что фазовым координатам в начальный момент времени сообщено возмущение q_k0, следовательно, реализовались не x_i0, а , т.е. движение уже возмущенное. Обычно возмущенное движение описывается системой дифференциальных уравнений относительно отклонений:

таким образом, не возмущенное движение перешло в нулевое решение системы уравнений относительно отклонений. Поэтому исследование устойчивости невозмущенного движения может быть сведено к исследованию нулевого решения.

В теории устойчивости Ляпунова рассматривает устойчивость невозмущенного движения по отношению к????????? или что тоже самое по отношению к мгновенно действующему возмущению. Однако методы Ляпунова пригодны так же для исследования устойчивости при постоянно действующем возмущении.

Рассмотрим поверхности в фазовом пространстве отклонений (R_q)ⁿ, где n – размерность.

Пусть поверхность описывается уравнением - уравнение сферы в n- мерном пространстве, R- расстояние от точки M(q₁,q₂,...,q_n), находящейся на поверхности этой сферы до начала координат:

Рис. 3.1.

Возмущающее движение может протекать следующим образом:

1) Точка М удаляется от начала координат в бесконечность (R®¥);

2) Точка М возвращается в начало координат (lim(R)=0, при t®0);

3) Точка М остаётся внутри некоторой окрестности начала координат (R<e).

Устойчивое равновесие системы по Ляпунову. (соответствует пункту 3)

Равновесие системы, определяемом в фазовом пространстве R, q, n, в значении переменной q_i=0, будет устойчивым относительно переменной q_i – если для всякого заданного положительного числа e, как бы мало оно не было, можно найти другое зависящее от e положительное h(e) такое, что для всех начальных возмущений системы удовлетворяющих при t=t₀ условиям |q_i0|<=h(e), возмущающее движение при t>t₀ переменной q_i будут удовлетворять условиям |q_i(t)|<e.

Аналогично по Ляпунову определяются условия не возмущенных движений. Невозмущенное движение x_i(t) является устойчивым, если для любого заданного положительного числа e, как бы мало оно не было, можно подобрать другое положительное число h(e), что для всех начальных отклонениях системы от невозмущенного движения оно удовлетворяет при t=t₀ условию:

.

Для возмущенного движения при t>t₀ будут выполнятся условия:

.

Из определения вытекаю следующие положения:

1. Об устойчивости системы судят по характеру развивающихся возмущенных движений.

2. Размер области начальных возмущений (отклонений) системы зависит от заданной области ее допустимых отклонений.

3. Отклонения системы ограничиваются на бесконечном интервале времени.

4. Для устойчивой системы не требуется, чтоб система после начала возмущения, система снова вернулась в исходное (начальное) состояние.

5. Данное определение устойчивости не позволяет делать вывод о поведении системы при произвольных начальных отклонениях.

6. Определение по Ляпунову носит качественный характер.

Имеются два метода Ляпунова исследования устойчивости:

I. Основанный на отыскании общего или частного решений уравнения возмущенного движения. Главным в этом методе является вопрос интегрируемости уравнения возмущенного движения.

II. Основанный на свойствах специально вводимых функций (функций Ляпунова). Этот метод представляет собой совокупность теорем позволяющих по уравнению возмущенного движения, не интегрируя их, установить устойчивость или не устойчивость невозмущенного движения.

Нас интересует второй метод.

Дата добавления: 2015-04-29