Логарифмические частотные характеристики

7)

Частотная функция.
Частотные характеристики.

Частотная функция является динамической характеристикой системы, и отражает способность системы воспроизводить в вынужденном режиме движения гармонические входные воздействия.

Пусть движение системы описывается линейным дифференциальным уравнением

a(p)x_вых(t)=B(p)x_вх(t)

x_вх(t)=A_вхsinωt

ω- частота

А- амплитуда

Известно, что при подаче на вход устойчивой линейной системы гармонических колебаний определённой частоты ω, на выходе системы после затухания свободных колебаний (теоритически при t→ ) устанавливаются вынужденные гармонические колебания той же частоты ω, но иной амплитуды и фазы.

x_вых(t)=A_выхsin(ωt+φ)

φ- запаздывание сигнала

Для удобства представим гармоническую функцию в комплексной форме

x_вх(t)=A_вхsinωt=А_вхIme^iωt

x_вых(t)=A_выхsin(ωt+φ)=A_выхIme^i(ωt+φ)

e^iωt- символический сигнал

Учитывая, что P^k[A_выхe^i(ωt+φ)]=(iω)^kA_выхe^i(ωt+φ), получаем

[a₀(iω)ⁿ+ a₁(iω)^n-1+…+ a_n]A_выхe^i(ωt+φ)=[b₀(iω)ⁿ+ b₁(iω)^n-1+…+b_n]А_вхe^iωt

a(iω)x_вых(t)=B(iω)x_вх(t)

отсюда имеем в вынужденном движении

Частотная функция W(iω) называется также амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ)

Частотная функция- комплексно переменная величина, а значит у неё есть модуль и аргумент. Её модуль- отношение амплитуды входного сигнала к амплитуде входного сигнала. Аргумент- сдвиг по фазе выходного сигнала по отношению к входному (в установленном вынужденном движении).

Функция частоты M(ω) называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ).

Фазово-частотная характеристика (ФЧХ) φ(ω)=argW(iω)

Достоинства частотных характеристик:

1. Частотные характеристики могут быть получены экспериментальным путём.

2. Из сравнения выражений для передаточной функции и частотной функции, замечаем, что частотную функцию можно получить из передаточной путём формальной замены s→iω.

АФЧХ изображается на комплексной плоскости в координатах U и iV.

W(iω)=U(ω)+iV(ω)=M(ω)cosφ(ω)+iM(ω)sinφ(ω)

{ график }

Иногда амплитудно-фазовые характеристики строят отдельно.

АЧХ (M(ω))- показывает как динамическая система пропускает в вынужденном установившемся режиме воздействмя различной частоты. По ней видно какие вносятся при этом амплитудные искажения на различных ω. Для количественной оценки амплитудных искажений вводится понятие полосы пропускания частоты ω_п, за которую обычно принимают область для которой M(ω)≥0.7M₀.

Резонансная частота ω_р соответствует M_max(ω).

Фазовая характеристика φ(ω) указывает на фазововые сдвиги, вносимые системой на различных частотах.

Расчёт системы управления с помощью частотного метода упрощается, если пользоваться АЧХ и ФЧХ построенных в логарифмическом масштабе. Рис 2.9.

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) строится в виде зависимости: 20lgM(ω) от lgω.

Логарифмическая фазово-частотная характеристика (ЛФЧХ) строится в виде зависимости: φ(ω) от lgω.

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ): L(ω)=20lgM(ω). (20 берётся для того, чтобы использовать стандартную характеристику- децибелл-дБ)

Белл- это единица измерения коэфицента усиления сигнала по мощности выраженная в десятичных логарифмах.

1 Б- усиление в 10 раз

Мощность сигнала N пропорциональна квадрату амплитуды (N~A²). Поэтому усиление по мощности можно выразить через логарифм отношения амплитуд

Шкала равномерна по логарифму и неравномерна по частоте. Шкала не имеет точки ω=0, поэтому ось абцисс помещается в любую точку.

Декада- диапазон частот в котором частота изменяется в 10 раз.

Октава- диапазон частот в котором частота изменяется в 2 раз.

1дек=3,32окт

Для решения практических задач достаточно построить приближенные ЛАЧХ, которые представляются в виде отрезков прямых стыкующихся на частотах сопряжения (ω_сопр). Такие ЛАЧХ L^*(ω) называются асимптотическими, т.к. являются отрезками асимптот для составляющих точных ЛАЧХ.

Дата добавления: 2015-04-29