Метод фазовой плоскости

Исследование автоколебаний в нелинейных системах

Метод гармоничной линеаризации позволяет решить задачу нахождения параметров автоколебаний (A и w), а также исследовать автоколебательные режимы на устойчивость.

Выведем уравнения для определения параметров автоколебаний.

- основное уравнение возникновения автоколебаний в нелинейной системе.

Решением этого уравнения получим параметры автоколебаний:

1. аналитически;

2. графоаналитически:

a) с применением АФХ;

b) с применением ЛЧХ;

3. различные модификации методов.

Фазовым называется пространство переменных состояний x₁,..,x_n. автономной системы. Автономная система предполагает, что в правые части системы дифференциальных уравнений (ДУ). Уравнения должны быть представлены в виде Коши, т.е. в них явно не входит время t,т.е.

Это условие автономности будет выполняться при свободном движении без внешнего воздействия при нулевых начальных условиях, а также при некоторых внешних воздействиях (т.е. ступенчатом).

Сущность метода фазовой плоскости заключается в построении фазовых траекторий по ДУ в фазовом пространстве x₁,..,x_n.

Точка, определяющая состояние фазового пространства x_1i, x_2i называется изображающей.

Траектория движения изображающей точки называется фазовой траекторий.

Совокупность фазовых траекторий образует фазовый портрет.

Размерность вектора состояний x_i, определяется размерностью фазового пространства: .

Наиболее наглядно этот метод может быть представлен для системы 2-го порядка. При наличии 2-х координат, фазовое пространство превращается в фазовую плоскость.

Для системы второго порядка имеем систему уравнений в виде Коши.

Для получения ДУ в фазовой траектории, необходимо поделить уравнение (2) на (1), тогда получим дифференциальной уравнение фазовой траектории (3).

Дата добавления: 2015-04-29