Составление математических моделей тепловых объектов

Аналитическое определение статических и динамических характеристик сложных тепловых объектов связаны с большим объемом исследовательских и расчётных работ. Метод упрощения расчётов состоит в представлении сложного объекта с распределенными параметрами в виде последовательного или параллельного соединения участков с сосредоточенными параметрами, отличающихся единством конструкции или протекающими в них физическими и технологическими процессами и простотой математического описания.

Рассмотрим процесс изменения давления перегретого пара в трубопроводе на выходе парогенератора. Проследим прохождение сигнала по каналу топлива Вт, давления перегретого пара Р_П.П.

_{Рисунок}

1 – топка

2 – барабан

3 – газоход

4 – дымосос

5 – вентилятор

6 – воздухоподогреватель

7 – водяной экономайзер

8 – циркуляционный контур

9 – пароперегреватель

10 – горелки

11 – бункер

12 – питатели угольной пыли

13 – короб первичного воздуха

14 – пылепроводы

Как сложная динамическая система, парогенератор может быть разбит на ряд более простых участков. Составим структурную схему парогенератора по каналу воздействия Вт -> P_П.П..

бебебе
В этом смысле наиболее представительной является реакция системы на импульсное возмущение.

Группы систем:

1) устойчивые;

2) неустойчивые системы;

3) нейтральные системы.

Устойчивый переходной процесс в результате нанесения импульсного возмущения со временем затухает, т.е. имеет переходной процесс :

График

Неустойчивый процесс – с расходящимися колебаниями .

График

Незатухающий процесс, т.е. процесс на границе устойчивости – чисто синусоидальный процесс .

Нейтральный процесс

Последняя картинка характеризует возмущение.

В качестве меры устойчивости используют степень затухания

Таким образом можно оценить систему, если есть экспериментальные переходные процессы.

При создании новых систем важно установить общие первоначальные требования к системе или критерии устойчивости, при помощи которых можно было бы судить об устойчивости системы без проведения экспериментальных исследований.

Задача устойчивости состоит в том, чтобы определить при каких значениях изменяемых параметров настройки система устойчива при различных возмущениях, действующих на систему порознь и одновременно.

Корневой и алгебраический критерий устойчивости

Если характеристики объекта и регулятора даны в виде дифференциальных уравнений, то на их основе составляется дифференциальное уравнение с регулирующей переменной.

В общем виде:

Решение можно представить: .

С1б, с2, с3 – постоянные интегрирования

Р1…n – корни характеристического уравнения

Кони этого уравнениязависят от коэффициентов. Среди этих корней могут быть:

1) вещественные положительные

2) вещественные отрицательны

3) естественные …

4) комплексно-сопряженные с положительной вещественной частью

5) мнимые

….

Представить всё это можно в виде:

Для устойчивой системы при Для этого необходимо, чтобы все корни характеристического уравнения были отрицательными, если они вещественным или иметь отрицательную вещественную часть если они комплексные.

Критерий: АСР устойчива, если корни её характеристического уравнения являются естественными отрицательными или комплексными с отрицательной естественной частью, т.е. расположены в левой полуплоскости корней.

Наличие двух сопряженных чисто мнимых корней приведет к появлению незатухающей колебательной составляющей.

В этом случае система будет на границе устойчивости.

Если хотя бы один корень будет нулевым при всех остальных корнях, расположенных в заштрихованной области, то этот корень при t стремящемся к бесконечности даст постоянную составляющую, т.е.

Такая система окажется нейтральной.

Сейчас был рассмотрен корневой критерий устойчивости.

Если система описывается дифференциальным уравнением первого порядка

Корень этого уравнения равен: при а₁ и а₀ больших нуля.

Для системы второго порядка:

Необходимо, чтобы корни были больше нуля

Для системы третьего порядка а3,а2,а1,а0 больше нуля. а1а2>a3a0.

Любую сложную систему можно проверить на устойчивость с помощью алгебраических критериев Рауса-Бурвица.

Система будет устойчивой, если определитель Бурвица и все его диагональные миноры положительны.

При составлении определителя Бурвица по диагонали располагают коэффициенты, начиная с а_n-1 до а_о. Затем определитель заполняют по столбцам. Выше диагональных коэффициентов: выше диагональных коэффициентов записывают коэффициенты с убывающими индексами, а ниже – с возрастающими. Про достижении N-го индекса или нулевого далее ставятся нули. Каждый диагональный минор получают из предыдущего вычеркиванием нижней строки и правого столбца. Низший диагональный минор .

Составляем определитель Гурвица:

Система устойчива, так как все положительные.

Существуют и другие критерии. В частности – частотные. Можно выделить частотный критерий Михайлова: замкнутая система устойчива, если гадограф вектора её характеристического уравнения n-ой степени с ростом амеги от нуля до бесконечности проходит последовательно через n квадрантов комплексной плоскости позволяет получить уравнение:

Если изобразить графически, допустим, для 6-го порядка, мы получим кривую:

АСР устойчива

По ней ней можно судить об устойчивости.

На границе устойчивости.

Среди частотных критериев есть амплитудно-фазовый критерий.

Амплитудно-фазовый критерий Найвкиста.

Об устойчивости замкнутой системы с амплитудно-фазовой характеристикой

можно судить по расположению на комплексной плоскости гадографа вектора АФК разомкнутой системы относительно так называемой критической точки с координатами u = -1 и iv = 0.

Критерий Найквиста формулируется так: замкнутая система устойчива, если гадограф вектора ее АФК в разомкнутом состоянии НЕ ОХВАТЫВАЕТ ТОЧКУ С КООРДИНАТАМИ u = -1 и iv = 0.

Графически:

Если точка внутри гадографа – система неустойчива. Если проходит через неё – система на границе устойчивости.

Критерий Найквиста удобен тем, что может быть получена экспериментально. Кроме того с помощью этого критерия можно исследовать системы, содержащие звенья запаздывания.

Если система находится на границе устойчивости, то при некоторой частоте АФХ разомкнутой системы проходит через точку -1,i₀. Это означает, что при частоте амплитуда выходного сигнала равна амплитуде входного, а его фаза противоположна фазе входного сигнала. Это видно из параметров этой точки.

При замыкании системы основная обратная связь должна быть отрицательной, т.е. фазу выходного сигнала при подаче его на вход системы следует повернуть на . Тогда выходной сигнал как бы закольцовывается в замкнутой системе и в системе возникают незатухающие колебания.

Понятие о запасе устойчивости

По запасу устойчивости можно судить о степени затухания переходных процессов. Предельное значение степени затухания, т.е. когда система находится на границе усточчивости – нулевое значение: пси равна нулю. При использовании корневого критерия о запасе устойчивости судят по расположению ближайшего к мнимой оси корня р_к или пары корней р₁ и р₂ характеристического уравнения. При использовании критерия Найквиста о запасе устойчивости можно судить по минимальному расстоянию от гадографа вектора АФХ разомкнутой системы. Расстояние на вещественной оси – с – запас устойчивости по модулю. Угол между отрицательной вещественной полуосью и лучом ОА, проведенном из начала координат через точку пересечения W_рс(i ) с окружностью единичного радиуса с центром в начале координат называется запасом устойчивости по фазе и обозначается .

Качество процессов регулирования

Оценка качества по кривым переходных процессов.

График

Для оценки качества используют следующие показатели:

1) максимальное отклонение регулируемой величины от ее установившегося значения, y^I;

2) время регулирования T_r. оно определяется промежутком времени от начала переходного процесса до момента, когда регулируемая величина будет отличаться от установившегося значения менее чем на некоторую заранее заданную величину , t_p.

3) Степень затухания

4) Перерегулирование

АСР настроена оптимально, если она удовлетворяет одновременно по крайней мере двух или трёх показателям качества. Чаще всего – это первые три.

Дата добавления: 2015-04-29