Методы обработки результатов прямых измерений 1 страница

Основные положения методов обработки результатов прямых измерений с многократными наблюдениями определены в ГОСТ 8.207-76.
За результат измерения принимают среднее арифмети-ческое данных n наблюдений, из которых исключены систематичес-кие погрешности. При этом предполагается, что результаты наблю-дений после исключения из них систематических погрешностей принадлежат нормальному распределению. Для вычисления резуль-тата измерения следует из каждого наблюдения исключить система-тическую погрешность и получить в итоге исправленный результат i –го наблюдения. Затем вычисляется среднее арифметическое этих исправленных результатов, которое принимается за результат измерения. Среднее арифметическое является состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой измеряемой величины при нормальном распределении данных наблюдений.
Следует отметить, что иногда в литературе вместо термина результат наблюдения иногда применяют термин результат отдельного измерения, из которого исключены систематические погрешности. При этом за результат измерения в данной серии из нескольких измерений понимают среднее арифметическое значение. Это не меняет сути излагаемых ниже процедур обработки результатов.
При статистической обработке групп результатов наблюдений следует выполнять следующие операции:

• Исключить из каждого наблюдения известную систематическую погрешность и получить исправленный результат отдельного наблюдения x.
• Вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, принимаемое за результат измерения:

Т

• Вычислить оценку среднего квадратического отклонения

группы наблюдений:

Проверить наличие грубых погрешностей – нет ли значений , которые выходят за пределы ±3 S. При нормальном законе распределений с вероятностью, практически равной 1 (0,997), ни одно из значений этой разности не должно выйти за указанные пределы. Если они имеются, то следует исключить из рассмотрения соответствующие значения и заново повторить вычисления и оценку S.

• Вычислить оценку СКО результата измерения (среднего

арифметического)

• Проверить гипотезу о нормальности распределения результатов наблюдений.

Существуют различные приближенные методы проверки нормальности распределения результатов наблюдений. Некоторые из них приведены в ГОСТ 8.207-76. При числе наблюдений меньше 15 в соответствии с этим ГОСТ принадлежность их к нормальному распределению не проверяют. Доверительные границы случайной погрешности определяют лишь в том случае, если заранее известно, что результаты наблюдений принадлежат этому распределению. Приближенно о характере распределения можно судить, построив гистограмму результатов наблюдений. Математические методы проверки нормальности распределения рассматриваются в специальной литературе.

• Вычислить доверительные границы e случайной погрешности (случайной составляющей погрешности) результата измерения

где tq - коэффициент Стьюдента, зависящий от числа наблюдений и доверительной вероятности. Например, при n = 14, P = 0,95 tq = 2,16. Значения этого коэффициента приведены в приложении к указанному стандарту.

• Вычислить границы суммарной неисключенной систематической погрешности (НСП) результата измерений Q (по формулам раздела 4.6).
• Проанализировать соотношение Q и :

Если , то НСП по сравнению со случайными погрешностя-ми пренебрегают, и граница погрешности результата D = e.. Если > 8, то случайной погрешностью можно пренебречь и граница погрешности результата D = Θ. Если оба неравенства не выполняются, то границу погрешности результата находят путем построения композиции распределений случайных погрешностей и НСП по формуле: , где К – коэффициент, зависящий от соотношения случайной погрешности и НСП; Så - оценка суммарного СКО результата измерения. Оценку суммарного СКО вычисляют по формуле:
.
Коэффициент К вычисляют по эмпирической формуле:
.
Доверительная вероятность для вычисления и должна быть одной и той же.
Погрешность от применения последней формулы для композиции равномерного (для НСП) и нормального (для случайной погрешности) распределений достигает 12 % при доверительной вероятности 0,99.
9. Записать результат измерений. Написание результата измерений предусмотрено в двух вариантах, так как следует различать измерения, когда получение значения измеряемой величины является конечной целью, и измерения, результаты которых будут использоваться для дальнейших вычислений или анализа.
В первом случае достаточно знать общую погрешность результата измерения и при симметричной доверительной погреш-ности результаты измерений представляют в форме:, где
где – результат измерения.
Во втором случае должны быть известны характеристики составляющих погрешности измерения – оценка среднего квадратического отклонения результата измерения , границы НСП , число выполненных наблюдений . При отсутствии данных о виде функций распределения составляющих погрешности результата и необходимости дальнейшей обработки результатов или анализа погрешностей, результаты измерений представляют в форме:

Если границы НСП вычислены в соответствии с п.4.6, то дополнительно указывают доверительную вероятность Р.
Оценки , и производные от их величины могут быть выражены как в абсолютной форме, то есть в единицах измеряемой величины, так и относительной, то есть как отношение абсолютного значения данной величины к результату измерения. При этом вычисления по формулам настоящего раздела следует проводить с использованием величин, выраженных только в абсолютной или в относительной форме.

Билет 8

1. Нормальный и равномерный закон распределение

Равномерный закон распределения. Непрерывная случайная величину Х имеет равномерный закон распределения (закон постоянной плотности) на отрезке [ a; b ], если на этом отрезке функция плотности вероятности случайной величины постоянна, т.е. f(x) имеет вид:

Функция плотности вероятности f(x)	Функция распределения F(x)
Рис.1. Равномерный закон распределения

Математическое ожидание
. Математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной на отрезке (a, b), равняется середине этого отрезка.

Дисперсия:

Величина называется поправкой Шеппарда.

Вероятность попадания значения случайной величины, имеющей равномерное распределение, на интервал (,), принадлежащий целиком отрезку [ a, b ]:

Геометрически эта вероятность представляет собой площадь заштрихованного прямоугольника. Числа а и b называются параметрами распределения и однозначно определяют равномерное распределение.

Нормальный закон распределения (закон Гаусса). Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами и (обозначают ), если ее плотность вероятности имеет вид:

, где , .
Функция плотности вероятности f(x)	Функция распределения F(x)
Рис.2. Нормальный закон распределения

Математическое ожидание характеризует центр рассеивания значений случайной величины и при изменении кривая будет смещаться вдоль оси абсцисс (см. рис. 2 при и при ). Если же при неизменном математическом ожидании у случайной величины изменяется дисперсия, то кривая будет изменять свою форму, сжимаясь или растягиваясь (см. рис. 2 при : ; ; ). Таким образом, параметр характеризует положение, а параметр - форму кривой плотности вероятности.

Нормальный закон распределения случайной величины Х с параметрами и (обозначается N (0;1)) называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая – стандартной или нормированной.

Билет 9

1. Требования к измерениям, обеспечение их надежности и достоверности

1. При выполнении измерений в сфере государственного регулирования обеспечения единства измерений должны соблюдаться обязательные метрологические требования к измерениям, в том числе установленные границы погрешности измерений, а результаты измерений должны быть выражены в единицах величин, допущенных к применению в Российской Федерации.

2. Измерения, относящиеся к сфере государственного регулирования обеспечения единства измерений, должны выполняться по методам и (или) методикам измерений, соответствующим обязательным метрологическим требованиям.

Методы и (или) методики, предназначенные для выполнения прямых измерений, вносятся в эксплуатационную документацию на средства измерений. Подтверждение соответствия этих методов и (или) методик измерений обязательным метрологическим требованиям осуществляется в процессе утверждения типов данных средств измерений.

В остальных случаях подтверждение соответствия методов и (или) методик измерений обязательным метрологическим требованиям осуществляется путем их аттестации. Сведения об аттестованных методах и (или) методиках измерений вносятся в Федеральный информационный фонд в области обеспечения единства измерений.

3. Аттестацию методов и (или) методик измерений, относящихся к сфере государственного регулирования обеспечения единства измерений, проводят юридические лица и индивидуальные предприниматели, аккредитованные в установленном порядке в системе аккредитации в области метрологии.

4. Порядок аттестации методов и (или) методик измерений и их применения устанавливает федеральный орган исполнительной власти, осуществляющий функции по нормативно-правовому регулированию в области обеспечения единства измерений.

5. Федеральный орган исполнительной власти, осуществляющий функции по оказанию государственных услуг и управлению государственным имуществом в области обеспечения единства измерений, формирует перечень измерений, относящихся к сфере государственного регулирования обеспечения единства измерений, и вносит его в Федеральный информационный фонд в области обеспечения единства измерений.

2. Однократные измерения их обработка

Большинство технических измерений являются однократными. В производственных условиях их точность может быть вполне приемлемой, а простота и высокая производительность ставят однократные измерения вне конкуренции. При неоднократных измерениях процедура измерений регламентируется заранее, с тем чтобы при известной точности средств измерений и условиях измерения погрешность не превзошла определенное значение, т. е. значения Δ и Р заданы априори. Так как такие измерения выполняют без повторений, то нельзя отделить случайные погрешности отсистематических. Для оценки погрешности дают лишь ее границы с учетом возможных влияющих величин.

Однократные измерения возможны при следующих условиях [7,20]:

– объем априорной информации об объекте измерений такой, что однократные измерения не вызывают сомнений;

– изучен метод измерения, его погрешности либо заранее устранены, либо оценены;

– метрологические характеристики средств измерений соответствуют установленным нормам.

При однократных измерениях возможно образование инструментальной, методической и субъективной погрешностей. Если последние две погрешности не превышают 15 % погрешности средства измерений, тогда погрешность измерения принимают равной погрешности используемого средства измерений [7, 9, 19]. Такая ситуация весьма часто имеет место на практике.

Как и при многократных измерениях, однократный отсчет показаний может содержать промах. Во избежание промаха при выполнении однократных измерений рекомендуется повторять измерения 2–3 раза, приняв за результат среднее арифметическое. Статистической обработке эти измерения не подвергаются. В простейшем случае, если влияющие величины соответствуют нормальной области значений, погрешность результата прямого однократного измерения равна основной погрешности средства измерений Δ_си, определяемой по нормативно-технической документации. Тогда результат измерений записывают в виде:

где x_си – результат, зафиксированный средством измерений.

Доверительная вероятность Р, как правило, составляет 0,95.

При проведении измерений в условиях, отличных от нормальных, необходимо определять и учитывать пределы дополнительных погрешностей, вызванных этими отличиями.

Пример. Произведены измерения длины L = 50±0,3 мм стержня штангенциркулем ШЦ-II, основная погрешность которого составляет Δ_си=±0,05 мм (по паспорту СИ). Получены следующие результаты:
x₁= 50,10 мм; x₂= 50,20 мм; x₃=50,15 мм. Записать окончательный результат измерений в стандартной форме.

Среднее арифметическое значение измеряемого размера определяется по формуле Результат измерения запишем в виде: , P, т. е. .

Методика прямых однократных измерений с точным оцениванием погрешностей приведена в рекомендациях Р 50.2.038 – 2004 «ГСИ. Измерения прямые однократные. Оценивание погрешностей и неопределенности результата измерений».

Билет 10

1. Требования, предъявляемые к оценкам истинного значения измеряемое величины

Оценку параметра называют точечной, если она выражается одним числом. К точечным характеристикам погрешности относятся СКО случайной погрешности и среднее арифметическое значение измеряемой величины.
Задача нахождения точечных оценок — частный случай статистической задачи определения оценок параметров функции распределения случайной величины на основании выборки. В отличие от самих параметров их точечные оценки являются случайными величинами, значения которых зависят от объема экспериментальных данных, а закон распределения — от законов распределения самих случайных величин.
К точечным оценкам предъявляются требования состоятельности, несмещенности и эффективности.
Состоятельной называется оценка, которая при увеличении объема выборки стремится по вероятности к истинному значению числовой характеристики.
Несмещенной называется оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемой числовой характеристике. Требование несмещенности на практике не всегда целесообразно, так как оценка с небольшим смещением и малой дисперсией может оказаться предпочтительнее несмещенной оценки с большой дисперсией. На практике не всегда удается удовлетворить одновременно все три этих требования, однако выбору оценки должен предшествовать ее критический анализ со всех перечисленных точек зрения
Эффективной считают ту из нескольких возможных несмещенных оценок, которая имеет наименьшую дисперсию.
Оценим математическое ожидание m и СКО σ для ограниченной группы (выборки) наблюдений, обозначив их через х_i Результат измерений при распределении наблюдений по нормальному закону определяют, учитывая известную в теории вероятностей закономерность (закон больших чисел): при достаточно большом числе n независимых наблюдений х_iсреднее арифметическое значений случайной величины приближается к ее математическому ожиданию т определяемому подобно оценке по формуле

2. Моменты дифференциальной функции случайной величины

Описание и оценка результатов наблюдений
Для удобства и упрощения описания и оценки результатов предположим, что результаты наблюдений х = х_u± Δ некоторой величины х_u содержат только случайную погрешность Δ = Δ ° Значит, свойства случайной величины х наиболее полно описываются законом распределения р(х), соответствующим закону распределения ее случайной погрешности Δ. В частности, аналитическое представление нормального закона случайной величины х можно получить путем преобразования координат в формуле (4.12), т. е. переходом от переменной Δ к новой переменной х. Тогда

где m₁ — центр распределения случайной величины х = х_u ± Δ; σ — ее СКО.
Вероятность Р попадания случайной величины х в некоторый интервал (х₁, х₂) вычисляют по формуле, подобной (4.6), с заменой интервала (Δ _r1 < Δ < Δ _r2) на интервал (х₁, х₂) и переменной Δ на x.
Для описания отдельных свойств случайной величины х используют числовые характеристики законов распределения р(х) — начальные и центральные моменты k-гo порядка, отражающие некоторые средние значения.
Начальный момент 1-го порядка (математическое ожидание случайной величины — истинное значение измеряемой величины при отсутствии систематических погрешностей) определяет центр распределения р(х) и описывается выражением

Центральный момент 2-го порядка (дисперсия) характеризует рассеяние значений случайной величины и определяется формулой

Начальным моментом порядка s называется математическое ожидание степени s СВ X:

При s=l: , то есть, первый начальный момент - это ма­тематическое ожидание СВ.

Отклонение СВ от ее математического ожидания называется центри­рованной СВ Х: X =Х - m_х.

Центральным моментом порядка s СВ X называется математиче­ское ожидание степени s, соответствующей центрированной СВ:

При вычислении центральных моментов пользуются формулами связи между центральными и начальными моментами:

Обычно рассматривают первые четыре центральных момента:

1. - математическое ожидание центрированной СВ равно нулю;
2. - второй центральный момент – это дисперсия;
3. - третий центральный момент может служить для характеристики асимметрии (скошенности распределения), обычно рассматривают безразмерный коэффициент асимметрии:

1. Четвертый центральный момент - может служить для характеристики «крутости» или островершинности распределения, описывающейся с помощью эксцесса:

то есть .

Билет 11

1. Правило округления результатов измерений

1. Погрешность результата измерения указывается двумя значащими цифрами, если первая из них равна 1 или 2, и одной — если первая цифра равна 3 или более.

2. Результат измерения округляется до того же десятичного знака, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности. Если десятичная дробь в числовом значении результата измерений оканчивается нулями, то нули отбрасываются до того разряда, который соответствует разряду числового значения погрешности.

3. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов меньше 5, то остальные цифры числа не изменяются. Лишние цифры в целых числах заменяются нулями, а в десятичных дробях отбрасываются.

4. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов больше или равна 5, но за ней следуют отличные от нуля цифры, то последнюю оставляемую цифру увеличивают на единицу.

5. Если отбрасываемая цифра равна 5, а следующие за ней цифры неизвестны или нули, то последнюю сохраняемую цифру числа не изменяют, если она четкая, и увеличивают на единицу, если она нечетная.

6. Округление производится лишь в окончательном ответе, а все предварительные вычисления проводят с одним-двумя лишними знаками.

2. СИ, их классификация, инструментальная погрешность

Под средством измерений понимается техническое средство (или их комплекс), предназначенное для измерений, имеющее нормированные метрологические характеристики, воспроизводящие и(или) хранящие единицу физической величины, размер которой принимается неизменным (в пределах установленной погрешности) в течение известного интервала времени.

Классификация средств измерений

Средства измерений можно классифицировать по следующим основным признакам: тип, вид и метрологическое назначение.

Тип - это совокупность средств измерений, имеющих принципиальную одинаковую схему, конструкцию и изготавливаемых по одним и тем же техническим условиям.

Вид - это совокупность типов средств измерений, предназначенных для измерений какой-либо одной физической величины.

По метрологическому назначению средства измерений подразделяются на рабочие средства измерений, предназначенные для измерений физических величин; метрологические средства измерений, предназначенные для обеспечения единства измерений.

По конструктивному исполнению средства измерений подразделяются на: меры; измерительные приборы; измерительные установки; измерительные системы; измерительные комплексы.

По уровню автоматизации - на неавтоматизированные средства измерений; автоматизированные средства измерений; автоматические средства измерений.

По уровню стандартизации: стандартизованные средства измерений; нестандартизованные средства измерений.

По отношению к измеряемой физической величине: основные средства измерений; вспомогательные средства измерений.

Мера - средство измерений, предназначенное для воспроизведения заданного размера физической величины. Например, набор плоскопараллельных концевых мер длины.

Различают меры однозначные и многозначные.

Однозначная мера воспроизводит физическую величину одного размера (например, концевые меры длины, калибры и т. п.).

Многозначная мера - мера, воспроизводящая физическую величину разных размеров. Например, линейка.

Комплект мер разного размера одной и той же физической величины, необходимый для применения на практике, как в отдельности, так и в различных сочетаниях называется набором мер.

Измерительный прибор - средство измерений, предназначенное для получения значений измеряемой физической величины в установленном диапазоне. Измерительный прибор, как правило, содержит устройство для преобразования измеряемой величины в сигнал измерительной информации и его индикации в форме, наиболее доступной для восприятия. Например, в качестве устройства для индикации используются шкала и стрелка и т. п.

Различают следующие измерительные приборы: показывающий, аналоговый, цифровой, регистрирующий, самопишущий, печатающий, суммирующий, интегрирующий, сравнения.

Показывающий измерительный прибор допускает только отсчитывание показаний измеряемой величины (штангенциркуль, микрометр, вольтметр и т. п.). В аналоговом измерительном приборе показания или выходной сигнал являются непрерывной функцией измеряемой величины (ртутный термометр).

Цифровой измерительный прибор - измерительный прибор, показания которого представлены в цифровой форме (штангенциркуль с числовым отсчетом).

Регистрирующий измерительный прибор - измерительный прибор, в котором предусмотрена регистрация показаний. Регистрация может быть как в аналоговой, так и числовой форме. Делятся на самопишущие и печатающие измерительные приборы.

Дата добавления: 2015-04-30