Математические модели изменения во времени погрешности средств измерений

4.3.1. Линейная модель изменения погрешности

В общем виде модель погрешности Л_О95(0 может быть представ­лена в виде A_ogs(t) = А₀ + F{t), где Д₀ — начальная погрешность СИ; F(t) — случайная для совокупности СИ данного типа функция времени, обусловленная физико-химическими процессами посте­пенного износа и старения элементов и блоков. Получить точное выражение для функции F(t) исходя из физических моделей про­цессов старения практически не представляется возможным. Поэто­му, основываясь на данных экспериментальных исследований из­менения погрешностей во времени, функцию F(t) аппроксимиру­ют той или иной математической зависимостью.

Простейшей моделью изменения погрешности является ли­нейная;

\_И(Г) = Д₀ + vt, (4.1)

где v — скорость изменения погрешности. Как показали прове­денные исследования [29], данная модель удовлетворительно опи­сывает старение СИ в возрасте от одного до пяти лет. Использова­ние ее в других диапазонах времени невозможно ввиду явного противоречия между определенными по этой формуле и экспери­ментальными значениями частоты отказов.

Метрологические отказы возникают периодически. Механизм их периодичности иллюстрирует рис. 4.2,а, где прямой линией 1 показано изменение 95%-ного квантиля при линейном законе.

^1
	1
.......... А
	//	1-2

б)

A, „(f) Д₀+ЗД, Д,,+2Д, Д.+Д. д, о

А„+ЗД₃ Д₀+2Д₃ А₀+Д₃ д,

О I,

О /,

<> '₃ <4 а)

к
... А-
/		2,
//

л»,. (О д₀+зд₃ Д₀+2Д₃ А₀+&, А,

В)

Рис. 4.2. Линейный (а) и экспоненциальный {б, в) законы изменения

погрешности

При метрологическом отказе погрешность Д_{0 95}(0 превышает значение Д_пр = Д₀ + Д_з, где Д_з — значение запаса нормируемого предела погрешности, необходимого для обеспечения долговре­менной работоспособности СИ. При каждом таком отказе произ­водится ремонт прибора, и его погрешность возвращается к ис­ходному значению Д₀. По прошествии времени Т = А - t_;опять происходит отказ (моменты t_v t₂, t₃ и т.д.), после которого вновь производится ремонт. Следовательно, процесс изменения погреш­ности СИ описывается ломаной линией 2 на рис. 4.2, а, которая может быть представлена уравнением

д₀₉₅(0 = Д₀ + п Д, (4.2)

где п — число отказов (или ремонтов) СИ. Если число отказов счи­тать целым числом, то это уравнение описывает дискретные точки на прямой 1 (рис. 4.2,а). Если условно принять, что я может прини­мать и дробные значения, то формула (4.2) будет описывать всю прямую 1 изменения погрешности Д₀₉₅ (0 при отсутствии отказов.

Частота метрологических отказов увеличивается с ростом ско­рости v. Она столь же сильно зависит от запаса нормируемого зна­чения погрешности Д_з по отношению к фактическому значению погрешности средства измерений Д₀ на момент изготовления или окончания ремонта прибора. Практические возможности воздей­ствия на скорость изменения v и запас погрешности Д_з совер­шенно различны. Скорость старения определяется существующей технологией производства. Запас погрешности для первого меж­ремонтного интервала определяется решениями, принятыми про­изводителем СИ, а для всех последующих межремонтных интер­валов — уровнем культуры ремонтной службы пользователя.

Если метрологическая служба предприятия обеспечивает при ремонте погрешность СИ, равную погрешности Д₀ на момент изготовления, то частота метрологических отказов будет малой. Если же при ремонте лишь обеспечивается выполнение усло­вия Д₀ = (0,9,...,0,95) Д_пр, то погрешность может выйти за пре­делы допустимых значений уже в ближайшие месяцы эксплуа­тации СИ и большую часть межповерочного интервала оно бу­дет эксплуатироваться с погрешностью, превышающей его класс точности. Поэтому основным практическим средством достиже­ния долговременной метрологической исправности средства из­мерений является обеспечение достаточно большого запаса Д_з, нор­мируемого по отношению к пределу Д_пр.

Постепенное непрерывное расходование этого запаса обеспечи­вает на некоторый определенный период времени метрологически исправное состояние СИ. Ведущие приборостроительные заводы обеспе­чивают Д_з = (0,4,...,0,5) Л_пр, что при средней скорости старения v = 0,05 Л_пр в год позволяет получать межремонтный интервал Т = Д/v = 8,...,10 лет и частоту отказов ю = 1/71 — 0,1,..., 0,125 год¹.

При изменении погрешности СИ в соответствии с формулой (4.1) все межремонтные интервалы Т будут равны между собой, а частота метрологических отказов ю = \/Тбудет постоянной в тече­ние всего срока эксплуатации.

4.3.2. Экспоненциальная модель изменения погрешности

В реальности для одних приборов межремонтные интервалы умень­шаются, для других — увеличиваются. Это может быть объяснено тем, что погрешность СИ с течением времени экспоненциально возрастает или убывает. При ускоряющемся возрастании погрешно­сти (рис. 4.2,6) каждый последующий межремонтный интервал ко­роче предыдущего и частота метрологических отказов а>(0 с тече­нием времени возрастает. При замедленном возрастании погрешнос­ти (рис. 4.2,в) каждый последующий межремонтный интервал длиннее предыдущего и частота метрологических отказов со(0 с течением времени убывает вплоть до нуля.

Для рассмотренных случаев изменения погрешности во вре­мени описываются на основе экспоненциальной модели. В ней ча­стота метрологических отказов «

ш(0 = w₀e"', (4.3)

где (о₀ — частота метрологических отказов на момент изготовле­ния средства измерений (т. е. при t = 0), год '; а — положительное или отрицательное ускорение процесса метрологического старе­ния, год¹.

Число отказов n(t) определяется через частоту отказов а>(0 и при ее экспоненциальном изменении, согласно формуле (4.3), рас­считывается как

л(г) = /(o(T)rfr = \^e^atdx = -1).

0 0 fl

Тогда изменение во времени погрешности СИ с учетом форму­лы (4.2) имеет вид

Д_{0 95} (0 = Д₀ + Я(0Д₃ = д₀ + (4.4)

Указанная зависимость показана кривыми 1 на рис. 4.2,6 и 4.2,в.

Раздел I. МЕТРОЛОГИЯ

Практическое использование формулы (4.4) требует знания че­тырех параметров: начального значения погрешности (Д₀), абсолют­ного запаса погрешности (Д₃), начальной частоты метрологических отказов (со₀) при t= 0 и ускорения (а) процесса старения. Уравне­ния для определения названных параметров, получаемые из уравне­ния (4.4), оказываются трансцендентными, что существенно зат­рудняет их применение.

С целью упрощения использования уравнения (4.4) необходи­мо разложить в ряд экспоненциальную функцию и взять три пер­вых члена этого разложения. В результате зависимость погрешнос­ти СИ от времени будет представлена в виде

^Ао,95^ = ^А0 + ^A3°V + Аз»о^/2 = \ + vt + af/2, (4.5)

где v — начальная скорость возрастания погрешности, %; а_А — абсолютное значение ускорения изменения погрешности, %. В частном случае, когда а = 0, (4.5) превращается в линейное урав­нение вида (4.1).

Выражение (4.5) имеет ясный физический смысл и позволяет путем аппроксимации экспериментальных данных о погрешностях СИ за 10—15 лет получить оценки коэффициентов v и а_А, а по ним рас­считать параметры уравнения (4.4) в виде со₀ = у/Д_з, и а = а_А /(Д ю₀).

Расчет времени наступления метрологического отказа сводит­ся к определению моментов пересечения кривой Д_о95(0 постоян­ных уровней Д₀ + Д_з, Д₀ + 2Д_з,..., Д₀ + яД₃. Они могут быть найдены путем совместного решения уравнений (4.2) и (4.4). Момент на­ступления я-го отказа и соответственно длительность межремонт­ных периодов можно определить по формулам

Срок службы СИ — это календарное время, прошедшее с мо­мента его изготовления до конца эксплуатации. При положитель­ном ускорении процесса старения (см. рис. 4.2,6) частота отказов с увеличением срока службы возрастает и по истечении времени Г_сл его приходится настолько часто ремонтировать, что эксплуа­тация становится экономически невыгодной, так как дешевле купить новый прибор. Экономическая целесообразность ремонта определяется отношением средней стоимости одного ремонта с_р к стоимости с_к нового средства измерений, названного в [13] относи­тельной глубиной ремонта с = с_р/с_к. Срок службы СИ

(4.7)

Глава 4. Метрологическая надежность средств измерений

Решая полученное уравнение совместно с первым выражением из (4.6), можно рассчитать общее число отказов (ремонтов) СИ в течение срока эксплуатации.

Пример 4.1. Для электромеханических измерительных прибо­ров магнитоэлектрической системы класса точности 0,5 глубина ремонта составляет с = 0,3... 0,4; частота метрологических отказов на момент изготовления ш₀= 0,11 год¹, ускорение процесса старе­ния а ~ 0,19 год¹. Определите срок службы таких приборов и общее число отказов.

Решение.

Срок службы прибора рассчитывается по формуле (4.7):

Т_сд = ]/ Дз-ОД 1-0,19 = 12,63 года.

Уравнение для расчета общего числа отказов имеет вид

п_ъ = — [ехр(я/ д/а • с ■ (0₀)-1],

Подставив в него числовые данные, получим

^{4 =} ^19 1?^хр(⁰'¹⁹/^⁰'¹⁹'°'³'^{0,1 1})~*]= 0,579(е⁵'⁸ -l)=5,8.

Данные расчета соответствуют экспериментальным данным, согласно которым средний срок службы рассматриваемых прибо­ров составляет 11—12 лет, в течение которых они имеют по 4—6 ремонтов.

При отрицательном ускорении процесса старения СИ межре­монтный период увеличивается. После некоторого числа ремонтов n_L он становится бесконечным, метрологические отказы не возни­кают и СИ работает до тех пор, пока морально не устареет. В этом случае (а < 0) число метрологических отказов

_% = = lim n(t) = lim^ (e^al -1) = ^. (->■» (->■» a a.

Погрешность СИ стремится к пределу, равному, согласно (4.4),

Д_{0 95}(оо) = д₀ - -S- А₃ = ДО + „_ д. (4.8)

Экспоненциальная модель процесса старения позволяет описать изменения пофешности СИ при увеличении его возраста от года и практически до бесконечности. Однако данная модель имеет ряд не­достатков. Для СИ с отрицательным ускорением процесса старения она прогнозирует при t-> °° стремление пофешности к предельному
значению (4.8). В то же время для СИ с положительным ускорением модель прогнозирует неограниченное возрастание погрешности с течением времени, что противоречит практике.

Некоторые недостатки экспоненциальной модели старения уда­ется устранить при использовании так называемой логистической модели, а также полиномиальными и диффузионными марковс­кими моделями или моделями на основе процессов авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего [12; 39; 52].

В технике используется большое число показателей надежнос­ти, которые приведены в стандарте ГОСТ 27.002—89. Основные из них находят применение и в теории метрологической надеж­ности. Знание показателей метрологической надежности позволя­ет потребителю оптимально использовать СИ, планировать мощ­ности ремонтных участков, размер резервного фонда приборов, обоснованно назначать межповерочные интервалы и проводить мероприятия по техническому обслуживанию и ремонту СИ.

Метрологические отказы при эксплуатации СИ составляют более 60% на третьем году эксплуатации и достигают 96% при работе более четырех лет.

В качестве показателей ремонтопригодности используются ве­роятность и среднее время восстановления работоспособности СИ. Вероятностью восстановления работоспособного состояния назы­вается вероятность того, что время восстановления работоспособ­ного состояния СИ не превысит заданное значение. Она представ­ляет собой значение функции распределения времени восстанов­ления при /= где — заданное время восстановления. Средним временем восстановления работоспособного состояния называется математическое ожидание времени восстановления, определяе­мое до его функции распределения.

Дата добавления: 2015-04-30