Ожидания и дисперсии

Интервальное оценивание вероятности, математического

После нахождения точечной оценки необходимо оценить ее погрешность, т.е. возможное расхождение между этой оценкой и значением исходной величины . Эту задачу решает интервальное оценивание. Оно состоит в нахождении доверительного интервала , который накрывает истинное значение с любой наперед заданной доверительной вероятностью (1 - a). Математически это записывается следующим образом:

= 1 – a (6)

Обычно доверительный интервал строят симметрично относительно точечной оценки , т.е. равенство (6) записывается в виде:

= 1 – a (7)

Это позволяет с вероятностью (1 – a) определить истинное значение в виде равенства:

где – погрешность точечной оценки .

В качестве доверительной вероятности (1 – a) обычно выбирают значения, близкие к единице (например, 0,9; 0,95; 0,99 и т. д.). Значение доверительной вероятности, равное единице выбирать бессмысленно, так как в этом случае доверительный интервал охватывает все возможные значения искомой величины .

Что же касается нахождения самого доверительного интервала, то это задача весьма сложная и не до конца решенная. Однако она значительно упрощается, если число экспериментальных данных велико. В этом случае довольно просто найти приближенный доверительный интервал, который будет тем точнее, чем больше .

В качестве таких приближенных доверительных интервалов при можно использовать следующие:

– для вероятности:

,

(8)

– для математического ожидания:

,

(9)

– для дисперсии:

,

(10)

В этих формулах верхний знак относится к нижней границе доверительного интервала, а нижний знак – к верхней границе. Величина находится из условия:

(11)

где Ф(u) - функция Лапласа

Таким образом, для нахождения приближенного доверительного интервала искомой величины необходимо сначала найти точечную оценку этой величины, затем, используя условие (11) и таблицу функции Лапласа [табл.1], определить значение и, наконец, подставив найденные величины в соответствующую формулу, рассчитать искомый доверительный интервал.

Дата добавления: 2015-04-30