Проверка гипотез о распределении

Проверку любой гипотезы всегда осуществляют по сравнению с некоторой другой гипотезой . При этом гипотезу называют основной или нулевой, а гипотезу – конкурирующей или альтернативной. Часто эти гипотезы являются противоположными, т.е. если гипотеза что-то утверждает, то гипотеза отрицает.

Общее правило для проверки гипотезы заключается в следующем. Пусть

– экспериментальные данные, которые в совокупности можно рассматривать как точку в мерном выборочном пространстве W. Если эта точка оказывается в некоторой области w W, то гипотеза считается неправдоподобной и отбрасывается. Если же точка оказывается в дополнительной области (W–w), то данная гипотеза считается правдоподобной и принимается как рабочая гипотеза. Области w и (W–w) называются соответственно критической областью и областью принятия гипотезы, а правило, согласно которому выбирается критическая область, – статистическим критерием.

Таким образом, задача проверки гипотезы фактически сводится к разработке подходящего критерия и отысканию соответствующей критической области w.

Критерий для проверки гипотезы о распределениях называется критерием согласия. Критическая область w определяется при этом следующим образом. Пусть – критерий согласия, распределение которого известно. Тогда, задав из тех или иных соображений вероятность попадания этого критерия в критическую область (так называемый уровень значимости a) и используя таблицу распределения этого критерия, находят его значение, удовлетворяющее условию:

(17)

Полученное значение будет, таким образом, отделять критическую область от области принятия гипотезы . После этого находят то значение величины , которое получается из экспериментальных данных при гипотезе . Если , то это означает, что экспериментальная точка попала в область принятия гипотезы , т.е. в область (W–w), и тогда гипотеза считается правдоподобной и принимается, как рабочая гипотеза. Если , то это означает, что точка попала в критическую область w, и тогда гипотеза считается неправдоподобной и отбрасывается. Таково общее правило. К этому следует добавить, что величина a обычно выбирается малой (например, a = 0.1; 0.05 или 0.01), а в качестве критерия согласия используют или критерий хи-квадрат , или критерий Колмогорова .

Критерий строится следующим образом. Пусть r – число разрядов гистограммы (включая полубесконечные разряды, на которых плотность распределения ), – номер разряда, – вероятность попадания случайной величины в й разряд при гипотезе , – число экспериментальных точек , попавших в ый разряд, – общее число экспериментальных точек, – экспериментальная частота попадания случайной величины X в й разряд. Тогда:

(18)

где n – число экспериментальных данных, r – число разрядов, включая полубесконечные.

Тогда формула для гипотетической вероятности попадания в i –разряд при нормальном распределении имеет вид:

- для экспоненциального распределения:

, .

Следует заметить, что распределение критерия зависит от числа степеней свободы s, которое находится по формуле:

s = r - 1 - k, (19)

где k – число параметров гипотетического распределения (т.е. распределения, выдвигаемого гипотезой ). Например, если гипотетическим распределением является нормальное распределение, то k = 2, потому что это распределение имеет два параметра: и . Если гипотетическим распределением является экспоненциальное, то k = 1, потому что это распределение имеет один параметр l и т. д. Таким образом, при нахождении критического значения из условия

(20)

следует использовать ту графу распределения хи-квадрат, которая соответствует найденному числу степеней свободы s.

Критерий Колмогорова находится проще. Если величина равна максимальной разнице между эмпирической и гипотетической функциями распределения

½ ½ (21)

и – общее число экспериментальных данных, то

(22)

При нахождении критического значения критерия Колмогорова из условия:

(23)

нужно использовать таблицу распределения Колмогорова.

Дата добавления: 2015-04-30