Решение. В результате испытания контрольной партии, состоящей из 100 машин, были получены следующие значения времени наработки до первого отказа:

Пример

В результате испытания контрольной партии, состоящей из 100 машин, были получены следующие значения времени наработки до первого отказа:

Таблица 1.

1.8 2.3 3.6 5.3 2.1 0.4 5.7 0.5 3.9 16.1

12.6 1.5 10.3 11.6 1.9 17.8 12.5 6.3 6.6 1.3

23.5 2.6 0.3 6.0 1.8 0.2 15.6 3.0 11.4 2.3

6.1 0.0 5.5 3.2 2.5 5.9 0.1 7.4 1.3 0.8

8.6 4.5 16.0 13.6 0.4 6.2 9.5 7.3 8.3 3.4

6.8 1.4 1.4 5.4 1.7 5.7 23.6 10.6 0.8 0.1

4.7 1.1 1.3 2.4 2.7 0.3 4.1 4.6 1.5 20.5

18.2 2.4 2.3 5.1 2.2 0.4 17.4 1.9 6.5 0.3

5.0 0.1 1.8 2.8 6.0 8.6 10.8 12.0 7.7 2.8

2.8 5.3 1.7 6.6 2.2 14.4 13.4 1.8 4.9 12.7

Требуется выполнить пункты 1-8, указанные в разделе “Содержание работы”.

1. По формулам (2-4) находим точечные оценки математического ожидания и дисперсии, учитывая, что n = 100.

2. По формулам (9,10) рассчитываем доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, предварительно задав доверительную вероятность (1 - a). Пусть, например, (1 - a) = 0,9. Тогда по формуле (11) и таблице значений функции Лапласа находим и, следовательно, искомые доверительные интервалы будут иметь вид:

3. По формуле (1) находим точечную оценку вероятности попадания случайной величины Х в интервал . Т.к. в этот интервал попало m = 12 экспериментальных значений, то искомая оценка будет равна:

4. По формуле (8) рассчитываем доверительный интервал для вероятности Р, оцененной в предыдущем пункте. Пусть в этом случае доверительная вероятность равна (1 - a) = 0,95. Тогда , и искомый интервал имеет вид:

5. Для построения гистограммы заключаем все экспериментальные данные в интервал (0,24) и разбиваем его на 12 равных разрядов, каждый длиной 2. Затем по методике, описанной в пункте 3.1 рассчитываем следующую таблицу.

Таблица 2.

Разряд (Хi-1,Хi )	Частота попадания случайной величины Х в разряд (Хi-1,Хi)	Значение гистограммы
(0;2)	0.300	0.150
(2;4)	0.190	0.195
(4;6)	0.140	0.070
(6;8)	0.120	0.060
(8;10)	0.040	0.020
(10;12)	0.050	0.025
(12;14)	0.060	0.030
(14;16)	0.020	0.010
(16;18)	0.040	0.020
(18;20)	0.010	0.005
(20;22)	0.010	0.005
(22;24)	0.020	0.010

График гистограммы представлен на рис. 5. Соответствующую эмпирическую функцию рассчитываем по формуле (14). Ее график представлен на рис. 6.

6. Доверительные области для плотности распределения и функции распределения находим по методике, изложенной в пунктах 3.1 и 3.2.

В данном случае общее число разрядов r равно 12 плюс один полубесконечный разряд, т.е.r = 13. Если теперь выбрать доверительную вероятность (1 - a) равную 0,99, то по формуле (12) получим .

Результирующие доверительные границы для плотности на каждом разряде гистограммы представлены в таблице 3, а их графическое изображение – на рис. 5.

Таблица 3.

Разряд (Хi-1,Хi)	Доверительные границы для плотности распределения
(0;2)	0.073.... 0.248
(2;4)	0.040.... 0.182
(4;6)	0.026.... 0.151
(6;8)	0.021.... 0.138
(8;10)	0.004.... 0.084
(10;12)	0.006.... 0.091
(12;14)	0.007.... 0.098
(14;16)	0.001.... 0.069
(16;18)	0.004.... 0.084
(18;20)	0.000.... 0.060
(20;22)	0.000.... 0.060
(22;24)	0.001.... 0.069

Рис. 5: Гистограмма с доверительными интервалами.

Далее по таблице распределения величины (распределение Колмогорова) находим еевеличину, соответствующую коэффициенту доверия (1 - a) = 0.99. Она равна = 1.6.

Затем по формуле (15) рассчитываем доверительную область для функции распределения :

где

График этой области представлен на рис. 6.

Рис. 6: Эмпирическая функция распределения

с доверительной областью.

7. Из формы гистограммы следует, что гипотетическим распределением может быть экспоненциальное распределение с функцией

и с плотностью

где - оценка неизвестного истинного значения . Т.к. , то и, следовательно,

Возможен случай, когда из формы гистограммы следует, что гипотетическим распределением может быть нормальное распределение с функцией

и с плотностью

где Ф(u) – функция Лапласа, - исправленная дисперсия.

8. Для проверки гипотезы выберем например уровень значимости a = 0,05 и используем вначале критерий согласия . Его экспериментальное значение, согласно формуле (18), равно .

А его гипотетическое значение при выбранном уровне значимости a = 0.05 и числе степеней свободы s = 13 - 1 - 1 = 11, согласно условию (20), равно . Таким образом, и, следовательно, гипотеза по критерию согласия является правдоподобной.

Теперь проверим ту же самую гипотезу с помощью критерия согласия Колмогорова. Максимальное различие между гипотетической и эмпирической функциями распределения в этом случае равно (см. рис. 7):

½ ½= 0,058

Рис. 7: Эмпирическая и гипотетическая функции распределения.

откуда получаем экспериментальное значение критерия Колмогорова:

Гипотетическое значение того же самого критерия при уровне значимости a = 0.05 (см. таблицу Колмогорова) равно . Таким образом, и, следовательно, гипотеза является правдоподобной также и по критерию Колмогорова.

Функция Лапласа

Таблица 1

0,0	0,0000	0,0040	0,0080	0,0120	0,0160	0,0199	0,0239	0,0279	0,0319	0,0359
0,1	0,0398	0,0438	0,0478	0,0517	0,0557	0,0596	0,0636	0,0675	0,0714	0,0753
0,2	0,0793	0,0832	0,0871	0,0910	0,0948	0,0987	0,1026	0,1064	0,1103	0,1141
0,3	0,1179	0,1217	0,1255	0,1293	0,1331	0,1368	0,1406	0,1443	0,1480	0,1517
0,4	0,1554	0,1591	0,1628	0,1664	0,1700	0,1736	0,1772	0,1808	0,1841	0,1879
0,5	0,1915	0,1950	0,1985	0,2019	0,2054	0,2088	0,2123	0,2157	0,2190	0,2224
0,6	0,2257	0,2291	0,2324	0,2357	0,2389	0,2422	0,2454	0,2486	0,2517	0,2549
0,7	0,2580	0,2611	0,2642	0,2673	0,2703	0,2734	0,2764	0,2794	0,2823	0,2852
0,8	0,2881	0,2910	0,2939	0,2967	0,2995	0,3023	0,3051	0,3078	0,3106	0,3133
0,9	0,3159	0,3186	0,3212	0,3238	0,3264	0,3289	0,3315	0,3340	0,3365	0,3389
1,0	0,3413	0,3437	0,3461	0,3485	0,3508	0,3531	0,3554	0,3577	0,3599	0,3621
1,1	0,3643	0,3665	0,3686	0,3708	0,3729	0,3749	0,3770	0,3790	0,3810	0,3830
1,2	0,3849	0,3869	0,3888	0,3907	0,3925	0,3944	0,3962	0,3980	0,3997	0,4015
1,3	0,4032	0,4049	0,4066	0,4082	0,4099	0,4115	0,4131	0,4147	0,4162	0,4177
1,4	0,4192	0,4207	0,4222	0,4236	0,4251	0,4265	0,4279	0,4292	0,4306	0,4319
1,5	0,4332	0,4345	0,4357	0,4370	0,4382	0,4394	0,4406	0,4418	0,4429	0,4441
1,6	0,4452	0,4463	0,4474	0,4484	0,4495	0,4505	0,4515	0,4525	0,4535	0,4545
1,7	0,4554	0,4564	0,4573	0,4582	0,4591	0,4599	0,4608	0,4616	0,4625	0,4633
1,8	0,4641	0,4649	0,4656	0,4664	0,4671	0,4678	0,4686	0,4693	0,4699	0,4706
1,9	0,4713	0,4719	0,4726	0,4732	0,4738	0,4744	0,4750	0,4756	0,4761	0,4767
2,0	0,47725	0,47778	0,47831	0,47882	0,47932	0,47981	0,48030	0,48077	0,48124	0,48169
2,1	0,48214	0,48257	0,48300	0,48341	0,48382	0,48422	0,48461	0,48500	0,48537	0,48574
2,2	0,48610	0,48645	0,48679	0,48713	0,48746	0,48778	0,48809	0,48840	0,48870	0,48899
2,3	0,48928	0,48956	0,48983	0,49010	0,49036	0,49061	0,49086	0,49111	0,49135	0,49158
2,4	0,49180	0,49202	0,49224	0,49245	0,49266	0,49286	0,49305	0,49324	0,49343	0,49361
2,5	0,49379	0,49396	0,49413	0,49430	0,49446	0,49461	0,49477	0,49492	0,49505	0,49520
2,6	0,49534	0,49547	0,49560	0,49573	0,49585	0,49597	0,49609	0,49621	0,49632	0,49643
2,7	0,49653	0,49664	0,49674	0,49683	0,49693	0,49702	0,49711	0,49720	0,49728	0,49736
2,8	0,49744	0,49752	0,49760	0,49767	0,49774	0,49781	0,49788	0,49795	0,49801	0,49807
2,9	0,49813	0,49819	0,49825	0,49831	0,49836	0,49841	0,49846	0,49851	0,49856	0,49861
3,0	0,49865	0,49903	0,49931	0,49952	0,49966	0,49977	0,49984	0,49989	0,49993	0,49995
4,0	0,499968
4,5	0,499997
5,0	0,499999

Распределение

Значение и вероятности p того, что ,

при числе степеней свободы

Таблица 2

S	Р=0,99	Р=0,95	Р=0,90	Р=0,10	Р=0,05	Р=0,01
	0,000157	0,00393	0,0158	2,706	3,841	6,635
	0,0201	0,103	0,211	4,605	5,991	9,210
	0,115	0,352	0,584	6,251	7,815	11,345
	0,297	0,711	1,064	7,779	9,488	13,277
	0,554	1,145	1,610	9,236	11,070	15,086
	0,872	1,635	2,204	10,645	12,592	16,812
	1,239	2,167	2,833	12,017	14,067	18,475
	1,646	2,733	3,490	13,362	15,507	20,090
	2,088	3,325	4,168	14,684	16,919	21,666
	2,558	3,940	4,865	15,987	18,307	23,209
	3,053	4,575	5,578	17,275	19,675	24,725
	3,571	5,226	6,304	18,549	21,026	26,217
	4,107	5,892	7,042	19,812	22,362	27,688
	4,660	6,571	7,790	21,064	23,685	29,141
	5,229	7,261	8,547	22,307	24,996	30,578
	5,812	7,962	9,312	23,542	26,296	32,000
	6,408	8,672	10,085	24,769	27,587	33,409
	7,015	9,390	10,865	25,989	28,869	34,805
	7,633	10,117	11,651	27,204	30,114	36,191
	8,260	10,851	12,444	28,412	31,410	37,566
	8,897	11,591	13,240	29,615	32,671	38,932
	9,542	12,338	14,041	30,813	33,924	40,289
	10,196	13,091	14,848	32,007	35,172	41,638
	10,856	13,848	15,659	33,196	36,415	42,980
	11,524	14,611	16,473	34,382	37,652	44,314
	12,198	15,379	17,292	35,563	38,885	45,642
	12,879	16,151	18,114	36,741	40,113	46,963
	13,565	16,928	18,939	37,916	41,337	48,278
	14,256	17,708	19,768	39,087	42,557	49,588
	14,953	18,493	20,599	40,256	43,773	50,892

Предельное распределение Колмогорова

Таблица 3

0,3	0,0000	0,0000	0,0000	0,0001	0,0002	0,0003	0,0005	0,0008	0,0013	0,0019
0,4	0,0028	0,0040	0,0055	0,0074	0,0097	0,0126	0,0160	0,0200	0,0247	0,0300
0,5	0,0361	0,0428	0,0503	0,0585	0,0675	0,0772	0,0876	0,0987	0,1104	0,1228
0,6	0,1357	0,1492	0,1632	0,1778	0,1927	0,2080	0,2236	0,2396	0,2558	0,2722
0,7	0,2888	0,3055	0,3223	0,3391	0,3560	0,3728	0,3896	0,4064	0,4230	0,4395
0,8	0,4559	0,4720	0,4880	0,5038	0,5194	0,5347	0,5497	0,5645	0,5791	0,5933
0,9	0,6073	0,6209	0,6343	0,6473	0,6601	0,6725	0,6846	0,6964	0,7079	0,7191
1,0	0,7300	0,7406	0,7508	0,7608	0,7704	0,7798	0,7889	0,7976	0,8061	0,8143
1,1	0,8223	0,8300	0,8374	0,8445	0,8514	0,8580	0,8644	0,8706	0,8765	0,8823
1,2	0,8878	0,8930	0,8981	0,9030	0,9076	0,9121	0,9164	0,9206	0,9245	0,9283
1,3	0,9319	0,9354	0,9387	0,9418	0,9449	0,9478	0,9505	0,9531	0,9556	0,9580
1,4	0,9603	0,9625	0,9646	0,9665	0,9684	0,9702	0,9718	0,9734	0,9750	0,9764
1,5	0,9778	0,9791	0,9803	0,9815	0,9826	0,9836	0,9846	0,9855	0,9864	0,9873
1,6	0,9880	0,9888	0,9895	0,9902	0,9908	0,9914	0,9919	0,9924	0,9929	0,9934
1,7	0,9938	0,9942	0,9946	0,9950	0,9953	0,9956	0,9959	0,9962	0,9965	0,9967
1,8	0,9969	0,9971	0,9973	0,9975	0,9977	0,9979	0,9980	0,9981	0,9983	0,9984
1,9	0,9985	0,9986	0,9987	0,9988	0,9989	0,9990	0,9991	0,9991	0,9992	0,9993
	0,99933	0,99970	0,99987	0,99995	0,99998	0,99999	1,00000

Дата добавления: 2015-04-30