Обработка данных и расчёт параметров описательной статистики

№	Xi	Xi-
…
n
Сумма

Среднее арифметическое значение результата измерений ,являются оценкой истинного значения Q:

,

Где - отдельные результаты измерений; n – число измерений.

Смещённая оценка дисперсии:

Несмещённая оценка дисперсии:

Среднее квадратическое отклонение или стандартное отклонение ,

Среднее арифметическое отклонение:

.

Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического:

Примечание. После расчёта стандартного отклонения можно выявить грубые промахи по 3 сигма критерию (максимальное по абсолютной величине отклонение нормируют к стандартному отклонению, если эта величина превышает 3, то это значение считают грубым промахом, прибор бракуют, а результат исключают из обработки).

Допускается обработка данных с помощью электронных таблиц.

Задача: «Обработка результатов многократных измерений при среднем числе опытов».

Исходные данные. В таблице 2.1 даны результаты многократного измерения (мм).

Вариант выбирается по сумме двух последних цифр шифра (для студентов з/ о). Или

номер варианта назначается преподавателем, согласно порядковому номеру по списку группы.

Таблица 2.1

В.0	В.1	В.2	В.3	В.4	В.5	В.6	В.7	В.8	В.9	В.10
5,99	19,9	29,9	39,9	59,9	4,99	20,53	10,01	1,60	3,45	6,81
5,98	19,8	29,8	39,8	59,8	5,01	20,52	10,02	1,61	3,49	6,82
5,98	19,8	29,8	39,8	59,8	5,02	20,50	10,02	1,60	3,50	6,83
5,99	19,9	29,9	39,9	59,9	5,02	20,50	10,03	1,60	3,51	6,84
5,98	19,8	29,8	39,8	59,8	5,03	20,52	10,02	1,59	3,50	6,82
5,98	19,8	29,8	39,8	59,8	5,02	20,48	10,02	1,56	3,51	6,82
5,98	19,8	29,8	39,8	59,8	5,02	20,49	10,03	1,60	3,50	6,82
6,00	20,0	30,0	40,0	60,0	5,04	20,50	10,02	1,61	3,50	6,82
5,98	19,8	29,8	39,8	59,8	5,02	20,50	10,02	1,61	3,50	6,83
5,99	19,9	29,9	39,9	59,9	5,01	20,50	9,98	1,61	3,51	6,83
5,99	19,9	29,9	39,9	59,9	5,01	20,44	10,02	1,61	3,51	6,90
5,99	19,9	29,9	39,9	59,9	4,95	20,50	9,98	1,62	3,50	6,83
5,98	19,8	29,8	39,8	59,8	5,02	20,51	10,01	1,61	3,51	6,83
5,92	19,2	29,2	39,2	59,2	4,80	20,49	10,20	1,61	3,50	6,83
5,98	19,8	29,8	39,8	59,8	5,02	20,50	10,02	1,61	3,50	6,82

Продолжение таблицы 2.1.

В.11	В.12	В.13	В.14	В.15	В.16	В.17	В.18	В.19	В.20
9,99	3,99	4,99	5,99	29,9	39,9	49,9	59,9	1,99	2,99
9,98	3,98	4,98	5,98	29,8	39,8	49,8	59,8	1,98	2,98
9,98	3,98	4,98	5,98	29,8	39,8	49,8	59,8	1,98	2,98
9,99	3,99	4,99	5,99	29,9	39,9	49,9	59,9	1,99	2,99
9,98	3,98	4,98	5,98	29,8	39,8	49,8	59,8	1,98	2,98
9,98	3,98	4,98	5,98	29,8	39,8	49,8	59,8	1,98	2,98
9,98	3,98	4,98	5,98	29,8	39,8	49,8	59,8	1,98	2,98
10,05	4,05	5,05	6,05	30,5	40,5	50,5	60,5	2,00	3,00
9,98	3,98	4,98	5,98	29,8	39,8	49,8	59,8	1,98	2,98
9,99	3,99	4,99	5,99	29,9	39,9	49,9	59,9	1,99	2,99
9,99	3,99	4,99	5,99	29,9	39,9	49,9	59,9	1,99	2,99
9,99	3,99	4,99	5,99	29,9	39,9	49,9	59,9	1,99	2,99
9,98	3,98	4,98	5,98	29,8	39,8	49,8	59,8	1,98	2,98
9,97	3,97	4,97	5,97	29,7	39,7	49,7	59,7	1,92	2,92
9,98	3,98	4,98	5,98	29,8	39,8	49,8	59,8	1,98	2,98

Исходные данные: В таблице 2.1 представлены результаты многократного измерения диаметра металлического стержня (мм) – столбец № 2, значения .

Требуется: а) выявить результаты, содержащие грубую погрешность и избавиться от них;

б) оценить нормальность распределения результата наблюдения;

в) выполнить интервальную оценку.

Доверительную вероятность в пунктах а) и в) принимать равной Р= 0,95.

Пример решения.

а) Поскольку , для выявления результатов, содержащие грубую погрешность, используем метод вычисления максимального относительного отклонения (критерий ).

Среднее арифметическое составляет:

Внимание! При расчёте необходимо на промежуточных этапах при округлении сохранять на один разряд больше, чем было в исходных числах.

Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле:

.

.

Расчёт и (При n= 15). Таблица № 1

№
	2,99	0,003	0,000009
	2,98	-0,007	0,000049
	2,98	-0,007	0,000049
	2,99	0,003	0,000009
	2,98	-0,007	0,000049
	2,98	-0,007	0,000049
	2,98	-0,007	0,000049
	3,05	0,063	0,003969
	2,98	0,003	0,000049
	2,99	0,003	0,000009
	2,99	0,003	0,000009
	2,99	-0,007	0,000049
	2,98	-0,007	0,000049
	2,97	-0,017	0,000289
	2,98	-0,007	0,000049
Сумма	44,81		0,004695
Среднее	2,987

Расчётные значения параметра для оценки возможного присутствия грубой погрешности вычисляются по формулам:

или

.

Критическое значение определяется по таблицеП.6 приложения 4: при числе наблюдений n= 15 для уровня значимости находим .

Т.к. 3,443>2,493 (т.е. > ), содержит грубую погрешность; этот результат ( м) отбрасывается.

Т.к. 0,929 <2,493 (т.е. < ), мм не содержит грубую погрешность.

Проводим повторный расчёт по оставшимся значениям

Расчёт и (при n= 14). Таблица №2

№
	2,99	0,007	0,000049
	2,98	-0,003	0,000009
	2,98	-0,003	0,000009
	2,99	0,007	0,000049
	2,98	-0,003	0,000009
	2,98	-0,003	0,000009
	2,98	-0,003	0,000009
	2,98	-0,003	0,000009
	2,99	0,007	0,000049
	2,99	0,007	0,000049
	2,99	0,007	0,000049
	2,98	-0,003	0,000009
	2,97	-0,013	0,000169
	2,98	-0,003	0,000009
Сумма	41,76	0,072	0,000486
среднее	2,983	(сумма модулей)

Критическое значение определяется по таблице П.6 приложения 4: при числе наблюдений n= 14 для находим .

Т.к. 1,148< 2.461 (т.е. < ), = 2,99мм не содержит грубую погрешность;

Т.к. 2,131 < 2,461 (т.е. < ), = 2,97 мм так же не содержит грубую погрешность.

б) Т.к. 10…15< n<40…50, то для оценки нормальности применяем составной критерий.

Статистика dвычисляется по формуле

,

Задаемся уровнем значимости .По таблице П.8.7. приложение 8 при числе измерений n= 14 ; .

Условие < ; 0,6767<0.8729 0,9226 выполняется, поэтому в соответствии с первым критерием гипотеза о нормальности распределения принимается.

Для проверки по второму критерию в табл.П..8 приложения 4 при n= 14 и = 0,02 находим m=1. В таблице П.2 приложения 4 находим значение .

Поскольку m= 1,то значение мм может превзойти только одно из отклонений результатов наблюдений от среднего арифметического. В таблице №2 отклонений мм нет ни одного. Таким образом, и второй критерий говорит о том, что экспериментальные данные при уровне значимости не противоречат гипотезе о нормальности распределения результата наблюдения.

в)Т.к. гипотеза о нормальности закона распределения вероятности результата измерения подтверждена и n<40…50, проведем интервальную оценку с помощью коэффициентов Стьюдента.

Половина длины доверительного интервала:

.

Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического:

.

.

По справочной таблице вида “Распределение Стьюдента” (табл. П.4 приложения 4) при заданной доверительной вероятности P= 0,95 и числе степеней свободы k=n-1=14-1=13 определяем соответствующий коэффициент Стьюдента:

Тогда

мм

Ответ: 2,983 0,004мм; Р= 95%.

Внимание! При записи окончательного ответа погрешность округляется до того количества значащих цифр, которое требуется по правилам округления. Затем округляется до того же разряда, до которого была округлена погрешность.

Приложение 3. «Способ последовательных разностей (критерий Аббе)».

Варианты заданий для проверки наличия систематических погрешностей графическим методом и по критерию Аббе. Вариант выбирается аналогично как в приложении 2.

Таблица 3.1.

Вар.1	Вар.2	Вар.3	Вар.4	Вар.5	Вар.6	Вар.7	Вар.8	Вар.9	Вар.10

Продолжение таблицы 3.1.

Вар.11	Вар.12	Вар.13	Вар.14	Вар.15	Вар.16	Вар.17	Вар.18	Вар.0

Приложение 4.

Дифференциальная функция нормированного распределения p(t)= П.1

t	p(t)	t	p(t)	t	p(t)	t	p(t)
0.0	0.3989	1.0	0.2420	2.0	0.0540	3.0	0.0044
0.1	0.3970	1.1	0.2179	2.1	0.0440	3.1	0.0033
0.2	0.3910	1.2	0.1942	2.2	0.0355	3.2	0.0024
0.3	0.3814	1.3	0.1714	2.3	0.0283	3.3	0.0017
0.4	0.3683	1.4	0.1497	2.4	0.0224	3.4	0.0012
0.5	0.3521	1.5	0.1295	2.5	0.0175	3.5	0.0009
0.6	0.3332	1.6	0.1109	2.6	0.0136	3.6	0.0006
0.7	0.3123	1.7	0.0940	2.7	0.0104	3.7	0.0004
0.8	0.2897	1.8	0.0790	2.8	0.0079	3.8	0.0003
0.9	0.2661	1.9	0.0656	2.9	0.0060	3.9	0.0002

Интегральная функция нормированного нормального распределения Ф(z)= t²dt. Значение z для различных Ф(z) П.2

Ф(t)	z	Ф(t)	z	Ф(t)	z	Ф(t)	z
0.0005	-3.2905	0.25	-0.6745	0.50	+0.0000	0.85	+1.0364
0.005	-2.575	0.30	-0.5244	0.55	+0.1257	0.90	+1.2816
0.01	-2.3567	0.35	-0.3853	0.60	+0.2533	0.95	+1.6449
0.05	-1.6449	0.40	-0.2533	0.65	+0.3853	0.975	+1.96
0.10	-1.2816	0.45	-0.1257	0.70	+0.5244	0.99	+2.3267
0.15	-1.0364	0.50	-0.0000	0.75	+0.6745	0.995	+2.575
0.20	-0.8416			0.80	+0.8416	0.9995	+3.2905

Интегральная функция нормированного нормального распределения Ф(z)= t²dt. П.3

z	Ф(t)	z	Ф(t)	z	Ф(t)	z	Ф(t)
-3.5	0.00023	-1.7	0.0446	+0.0	0.5000	+1.8	0.9641
-3.4	0.00034	-1.6	0.0548	+0.1	0.5398	+1.9	0.9713
-3.3	0.00048	-1.5	0.0668	+0.2	0.5793	+2.0	0.9773
-3.2	0.00069	-1.4	0.0808	+0.3	0.6179	+2.1	0.9821
-3.1	0.00097	-1.3	0.0968	+0.4	0.6554	+2.2	0.9861
-3.0	0.00135	-1.2	0.1151	+0.5	0.6915	+2.3	0.9893
-2.9	0.0019	-1.1	0.1357	+0.6	0.7257	+2.4	0.9918
-2.8	0.0026	-1.0	0.1587	+0.7	0.7580	+2.5	0.9938
-2.7	0.0035	-0.9	0.1841	+0.8	0.7881	+2.6	0.9953
-2.6	0.0047	-0.8	0.2119	+0.9	0.8159	+2.7	0.9965
-2.5	0.0062	-0.7	0.2420	+1.0	0.8413	+2.8	0.9974
-2.4	0.0082	-0.6	0.2743	+1.1	0.8643	+2.9	0.9981
-2.3	0.0107	-0.5	0.3085	+1.2	0.8849	+3.0	0.99865
-2.2	0.0139	-0.4	0.3446	+1.3	0.9032	+3.1	0.99903
-2.1	0.0179	-0.3	0.3821	+1.4	0.9192	+3.2	0.99931
-2.0	0.0228	-0.2	0.4207	+1.5	0.9332	+3.3	0.99952
-1.9	0.0287	-0.1	0.4602	+1.6	0.9452	+3.4	0.99966
-1.8	0.0359	-0.0	0.5000	+1.7	0.9554	+3.5	0.99977

Дата добавления: 2015-04-30