Синтез реализуемого управления, обеспечивающий заданные динамические и статические свойства системы управления

3.12.1. Динамические свойства системы с обратной связью
и наблюдателем полного порядка

Предполагается, что известны уравнения управляемого и наблюдаемого объекта:

(3.12.1)

Кроме того, проведён синтез управления и получены матрица и коэффициент для равенства

, (3.12.2)

обеспечивающего желаемые собственные числа замкнутой системы , или нули характеристического полинома замкнутой системы

. (3.12.3)

Предполагается также, что имеется наблюдатель

, (3.12.4)

спроектированный таким образом, что его характеристический поли­ном имеет коэффициенты , соответствующие некоторой выбранной совокупности собственных чисел .

Учтём, что при формировании управления фактически можно воспользоваться не самим вектором состояния , а лишь его оценкой , то есть

. (3.12.5)

Таким образом, рассматривается функциональная схема полной системы (объект, формирователь управления и наблюдатель), представленная на рис. 3.19.

Запишем уравнения этой системы, то есть совместно уравнения объекта с управлением и наблюдателя:

(3.12.6)

С использованием блочных матриц получим

. (3.12.7)

Поведение этой системы зависит от собственных чисел матрицы динамики полной системы

. (3.12.8)

Надо попытаться для найти некоторую подобную матрицу, такую, чтобы можно было легко определить её собственные числа. Перейдём к подобной матрице с помощью преобразования

. (3.12.9)

Матрицу выберем следующей:

, (3.12.10)

где индекс указывает на размеры соответствующих нулевой и единичных матриц. Легко убедиться, что . В результате полу­чим

.

Характеристический полином матрицы не зависит от базиса и определяется следующим образом:

.

Отсюда следует

. (3.12.11)

Таким образом, полная система, в которой управление вычисляется в функции оценки вектора состояния, имеет собственных чисел: , . Собственные числа замкнутой системы сохранили те значения, которые были заданы при синтезе управления.

Отметим, что в полной системе передаточная функция от ко­мандного сигнала до выходного сигнала тождественно равна передаточной функции в идеализированной системе без наблю­дателя. Это действительно так, потому что по определению передаточная функция связывает изображения соответствующих переменных при нулевых начальных условиях. При нулевых началь­ных условиях выход объекта и выход наблюдателя тождественно равны.

Дата добавления: 2015-03-31