Теорема 12.1

Середини паралельних хорд поверхні другого порядку лежать на площині.

Доведення

Нехай поверхня другого порядку задана загальним рівнянням у деякій системі координат :

(1)

Розглянемо хорди цієї поверхні, паралельні до заданого вектора (рис. 7.32). Нехай – одна з таких хорд, точка – її середина, координати кінців хорди: і . Розглянемо вектори і . Ці вектори колінеарні з вектором , причому один з них співнапрямлений з вектором , а другий – протилежно напрямлений з . Довжини цих векторів рівні. Тому , , де t – деяке число, відмінне від нуля. Тоді

,

,

звідки

(2)

і

(3)

Точки і лежать на даній поверхні, тому їх координати задовольняють рівняння (1). Підставивши (2) в (1), матимемо:

Беручи до уваги, що , дістанемо

(4)

Введемо позначення:

;

;

;

;

Тоді рівність (4) запишеться так:

(5)

Аналогічно, підставивши (3) в (1), матимемо:

(6)

Віднявши відповідні частини (5) і (6), дістанемо:

,

звідки випливає, що координати точки задовольняють рівняння

. (7)

А це є рівняння першого порядку відносно .

Цим самим ми встановили, що для того, щоб точка хорди, паралельної до вектора , була її серединою, необхідно і достатньо, щоб її координати задовольняли рівняння (7), яке є рівнянням площини. Теорему доведено.

Означення 12.2. Площина, яка проходить через середини хорд поверхні другого порядку, паралельних до деякого вектора , називається діаметральною площиною цієї поверхні, спряженою з вектором .

Як випливає з наведених вище міркувань, рівняння діаметральної площини, спряженої з вектором , має вигляд:

(8)

Приклад. Скласти рівняння діаметральної площини поверхні , спряженої з вектором .

Розв’язання

Для даної поверхні

.

Із рівняння (8) маємо:

;

.

Відповідь. .

§13. Центр поверхні другого порядку

Означення 13.1. Точка О називається центром поверхні другого порядку, якщо разом з довільною точкою М цієї поверхні їй належить і точка , симетрична відносно точки О.

Нехай у деякій системі координат поверхня другого порядку задана загальним рівнянням

(1)

Точка буде центром даної поверхні тоді і тільки тоді, коли вона буде серединою будь-якої хорди, яка проходить через неї. Це означає, що всі діаметральні площини поверхні проходять через точку О, тому координати точки О задовольняють рівняння довільної діаметральної площини (рис. 7.33):

. (2)

Отже, точка буде центром даної поверхні тоді і тільки тоді, коли при довільних виконується рівність (2).

А це можливо тоді і тільки тоді, коли виконуються рівності

Отже, щоб знайти центр поверхні (1), необхідно розв’язати систему рівнянь:

або

(3)

Дата добавления: 2015-03-31