Теорема 14.1

Нехай поверхня другого порядку задана загальним рівнянням

(1)

а точка лежить на цій поверхні.

Геометричне місце прямих, які проходять через точку і дотикаються до поверхні в цій точці, є площина. Ця площина називається дотичною площиною до поверхні в точці .

Доведення

Запишемо рівняння деякої прямої, що проходить через точку :

(2)

Знайдемо координати точок перетину поверхні (1) і прямої (2). Для цього підставимо (2) в (1) і скористаємося позначеннями, введеними в § 12. Матимемо:

(3)

Оскільки точка лежить на поверхні (1), то і рівняння (3) запишеться у вигляді

(4)

Пряма (2) дотикається до поверхні (1) у точці тоді і тільки тоді, коли це квадратне рівняння має два корені , які збігаються, тобто коли

. (5)

Виключаючи з (2) і (5), ми замінюємо координати напрямних векторів дотичних прямих пропорційними їм різницями , які містять змінні координати точок дотичних, тобто знаходимо рівняння геометричного місця дотичних:

.

(6)

Перетворимо вираз у дужках. Оскільки

де

,

то

.

Підставивши у (6), матимемо

(7)

або

(8)

Це рівняння лінійне. Отже, геометричне місце дотичних до поверхні другого порядку в точці є площина. Теорему доведено.

Рівняння (7), (8) – рівняння дотичної площини до поверхні (1) у точці .

Дата добавления: 2015-03-31