Сферическая система координат в пространстве

Сферическая система координат вводится следующим образом: фиксируем плоскость, на ней -- точку О начала координат, а из точки О выпускаем луч, перпендикулярный плоскости, и луч, лежащий в плоскости. Положение точки М задаётся тремя числами: первое – расстояние от начала координат О до точки М; второе – угол между проекцией отрезка ОМ на плоскость и лежащим в плоскости лучом; третье – угол между перпендикулярным плоскости лучом и отрезком ОМ.

Из геометрических соображений можно получить формулы перехода между сферической и декартовой системами координат. В случае, изображённом на рисунке, формулы перехода такие:

x = ρ·sinθ·cosφ,

y = ρ·sinθ·sinφ,

z = ρ·cosθ.

37. Эллипс. Каноническое уравнение. Основные характеристики эллипса.

Э́ллипс (др.-греч. ἔλλειψις — опущение, недостаток, в смысле недостатка эксцентриситета до 1) — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек и (называемыхфокусами) постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть

причем

Окружность является частным случаем эллипса. Наряду с гиперболой и параболой, эллипс является коническим сечением и квадрикой. Эллипс также можно описать как пересечение плоскости и кругового цилиндра или какортогональную проекцию окружности на плоскость.

Содержание [убрать] · 1 Связанные определения · 2 Свойства · 3 Соотношения между элементами эллипса · 4 Координатное представление o 4.1 Эллипс как кривая второго порядка o 4.2 Каноническое уравнение o 4.3 Параметрическое уравнение o 4.4 В полярных координатах · 5 Длина дуги эллипса o 5.1 Приближённые формулы для периметра · 6 Площадь эллипса и его сегмента · 7 Построение эллипса · 8 Ссылки · 9 Литература · 10 См. также

[править]Связанные определения

§ Проходящий через фокусы эллипса отрезок AB, концы которого лежат на эллипсе, называется большой осью данного эллипса. Длина большой оси равна 2 a в вышеприведённом уравнении.

§ Отрезок CD, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центральную точку большой оси, концы которого лежат на эллипсе, называется малой осью эллипса.

§ Отрезки, проведённые из центра эллипса к вершинам на большой и малой осях называются, соответственно, большой полуосью и малой полуосью эллипса, и обозначаются a и b.

§ Точка пересечения большой и малой осей эллипса называется его центром.

§ Расстояния и от каждого из фокусов до данной точки на эллипсе называются фокальными радиусами в этой точке.

§ Расстояние называется фокальным расстоянием.

§ Величина называется эксцентриситетом.

§ Диаметром эллипса называют произвольную хорду, проходящую через его центр. Сопряжёнными диаметрами эллипса называют пару его диаметров, обладающих следующим свойством: середины хорд, параллельных первому диаметру, лежат на втором диаметре. В этом случае и середины хорд, параллельных второму диаметру, лежат на первом диаметре.

§ Радиус эллипса в данной точке (расстояние от его центра до данной точки) вычисляется по формуле , где — угол между радиус-вектором данной точки и осью абсцисс.

§ Фокальным параметром называется половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной большой оси эллипса.

§ Отношение длин малой и большой полуосей называется коэффициентом сжатия эллипса или эллиптичностью: Величина, равная называется сжатием эллипса. Для окружности коэффициент сжатия равен единице, сжатие — нулю. Коэффициент сжатия и эксцентриситет эллипса связаны соотношением

[править]Свойства

§ Оптические

§ Свет от источника, находящегося в одном из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи пересекутся во втором фокусе.

§ Свет от источника, находящегося вне любого фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи ни в каком фокусе не пересекутся.

§ Если и — фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой равен углу между этой касательной и прямой .

§ Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.

§ Эволютой эллипса является астроида.

§ Точки пересечения эллипса с осями являются его вершинами.

§ Эксцентриситет эллипса равен отношению . Эксцентриситет характеризует вытянутость эллипса. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.

§ Эллипс также можно описать как

§ фигуру, которую можно получить из окружности, применяя аффинное преобразование

§ ортогональную проекцию окружности на плоскость.

§ Пересечение плоскости и кругового цилиндра

[править]Соотношения между элементами эллипса

Части эллипса (описание см. в разделе "Связанные определения")

§ — большая полуось;

§ — малая полуось;

§ — фокальный радиус (полурасстояние между фокусами);

§ — фокальный параметр;

§ — перифокусное расстояние (минимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе);

§ — апофокусное расстояние (максимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе);

.

– большая полуось
– малая полуось
– фокальное расстояние
– фокальный параметр
– перифокусное расстояние
– апофокусное расстояние

[править]Координатное представление

[править]Эллипс как кривая второго порядка

Эллипс является центральной невырожденной кривой второго порядка и удовлетворяет общему уравнению вида

при инвариантах и где:

Соотношения между инвариантами кривой второго порядка и полуосями эллипса:

[править]Каноническое уравнение

Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением (каноническое уравнение эллипса):

Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат.

Соотношения [показать]

[править]Параметрическое уравнение

Каноническое уравнение эллипса может быть параметризовано:

где — параметр уравнения.

В случае окружности параметр является углом между радиус-вектором данной точки и положительным направлением оси абсцисс.

[править]В полярных координатах

Если принять фокус эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах будет иметь вид

где e — эксцентриситет, а p — фокальный параметр. При положительном знаке перед e второй фокус эллипса будет находиться в точке а при отрицательном — в точке где фокальное расстояние

Вывод [показать]

Если принять центр эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах будет иметь вид

[править]Длина дуги эллипса

Длина дуги плоской линии определяется по формуле:

Воспользовавшись параметрическим представлением эллипса получаем следующее выражение:

После замены выражение для длины дуги принимает окончательный вид:

Получившийся интеграл принадлежит семейству эллиптических интегралов, которые в элементарных функциях не выражаются, и сводится к эллиптическому интегралу второго рода . В частности, периметр эллипса равен:

,

где — полный эллиптический интеграл второго рода.

[править]Приближённые формулы для периметра

Максимальная погрешность этой формулы ~0,63 % при эксцентриситете эллипса ~0,988 (соотношение осей ~1/6,5). Погрешность всегда положительная.

Приблизительно в два раза меньшие погрешности в широком диапазоне эксцентриситетов дает формула:

, где

Максимальная погрешность этой формулы ~0,36 % при эксцентриситете эллипса ~0,980 (соотношение осей ~1/5). Погрешность также всегда положительная.

Cущественно лучшую точность при обеспечивает формула Рамануджана:

При эксцентриситете эллипса ~0,980 (соотношение осей ~1/5) погрешность составляет ~0,02 %. Погрешность всегда отрицательная.

[править]Площадь эллипса и его сегмента

Площадь эллипса вычисляется по формуле

Площадь сегмента между дугой, выпуклой влево, и хордой, проходящей через точки и

Если эллипс задан уравнением , то площадь можно определить по формуле

.

[править]Построение эллипса

Эллипсограф в действии

Основная статья — статья «Построение эллипса» в Викиучебнике.

Инструментами для рисования эллипса являются:

§ эллипсограф;

§ две иголки, воткнутые в фокусы эллипса и соединённые ниткой длиной 2a, которую оттягивают карандашом.

При помощи циркуля или циркуля и линейки можно построить любое количество точек, принадлежащих эллипсу, но не весь эллипс целиком.

Дата добавления: 2015-04-23