Эллипс

Уравнения конических сечений.

Расстояние от точки до прямой в пространстве. Кратчайшее расстояние между прямыми.

№ 154. Вычислить расстояние от точки М (7,-2,3) до каждой из следующих прямых:
а) х = 3 – t, y = –5 – 2t, z = 1 + 2t; б) х = 6 + 10t, y = –3 + 11t, z = 4 + 2t.

Ответ: а) h = 5. б) h =

№ 155. Вычислить расстояние между параллельными прямыми: а) х = 2 – 4t, y = 2 + + 7t, z = 1 + 4t и х = 8t, у = 3 – 14t, z = 4 – 8t; б)

Ответ: а) h = ; б) h = 3.

№ 156. Найти кратчайшее расстояние между двумя прямыми:

а)

б) х = 3 + t, у = 1 – t, z = 2 + 2t и х = – t, у = 2 + t, z = 3t.

Ответ: а) h = ; б) h = .

№ 157. Найти кратчайшее расстояние между диагональю куба с ребром 1 и непересекающей ее диагональю грани.

Ответ: h = .

№ 158. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (4,7,-5) перпендикулярно двум прямым:
х = 3 + 2t, у = 8 – t, z = –1 + 4t и х = 1 + 3t, у = -5 + t, z = 6 + t.

Ответ:

Тема 3. Кривые второго порядка.

№ 159. Уравнение кривой второго порядка привести к каноническому виду:

1. х² + у² –2nх – 4у + n² = 0.

2. х² + 8у² – 10х + 48у + 5n +32 = 0.

3. х² – у² + 2y – 3 = 0.

4. 4х –3у² + 2nу – n² = 0.

Ответ: 1) . 2) . 3)

4)

№ 160. Найти общие точки эллипса х² + 4у² = 4 и окружности с центром в «верхней» вершине эллипса и проходящей через фокусы эллипса.

Ответ: (0; -1), , .

№ 161. Записать уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси х, эксцентриситет e = 0,75 и эллипс проходит через точку М (-4, ). Выполнить чертеж.

Ответ:

№ 162. Найти длину хорды эллипса х² + 2у² = 18, делящей угол между осями пополам.

Отве:

№ 163. На эллипсе 16х² + 25у² = 400 найти точку, расстояние которой от правого фокуса в четыре раза меньше расстояния от левого фокуса.

Ответ: (5; 0).

№ 164. Определить длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса, заданного уравнением:
а) 9х² + 25у² = 225; б) 9х² + у² = 36.

Ответ: а) а = 5; b = 3; (- 4; 0); (4;0); ; б) a = 2; b = 6; ; .

№ 165. Записать уравнения директрис эллипса 100х² + 125у² = 12500.

Ответ:

№ 166. Дан эллипс х² + 2у² = 8. Через точку М (1,1) провести хорду, делящуюся в этой точке пополам.

Ответ: x + 2y – 3 = 0.

№ 167. Известно, что прямая х – 3у – 12 = 0 касается эллипса . Найти точку касания.

Ответ: (3; -3).

№ 168. Сколько касательных можно провести к эллипсу из точки:
а) М (1,2); б) N (0,4); в) К (5,3)?

Ответ: а) Ни одной. б) Одну. в) Две.

№ 169. Эллипс проходит через точки М () и А (6,0). Записать его уравнение, найти эксцентриситет и фокусное расстояние.

Ответ: ; .

№ 170. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки
F (2,4) и до прямой х = 4,2 равно . Выполнить чертеж.

Ответ:

№ 171. Уравнение линии привести к каноническому виду и построить ее:
а) 9х² + 4у² – 18х – 8у – 23 = 0; б) 4х² + 9у² + 16х + 18у – 11 = 0.

Ответ: а) б) .

№ 172. Составить простейшее уравнение эллипса и построить его, зная что:

а) полуоси эллипса соответственно равны 7 и 6;

б) расстояние между фокусами равно 24 и большая ось равна 26;

в) большая полуось равна 10 и эксцентриситет равен 0,8;

г) эксцентриситет равен 0,6 и расстояние между фокусами равно 6;

д) сумма полуосей равна 18 и расстояние между фокусами равно 12;

е) расстояние между фокусами равно 8 и расстояние между директрисами равно 24.

Ответ: а) б) в)

г) д) е) .

Дата добавления: 2015-04-24