Угол, вершина которого лежит внутри круга, измеряется полусуммой двух дуг, из которых одна заключена между его сторонами, а другая - между продолжениями сторон

Теорема о градусной мере угла, образованного касательной и хордой, проведенной через точку касания. Угол, образованный касательной и хордой, проведенной через точку касания, имеет градусную меру, равную половине градусной меры дуги, заключенной между сторонами этого угла.

Эти теоремы легко доказываются от противного.

Из двух хорд, неодинаково удаленных от центра, та, которая ближе к центру, больше и стягивает большую дугу.

Из двух неравных хорд большая ближе к центру и стягивает большую дугу;

Хорды, одинаково удаленные от центра, равны и стягивают равные дуги;

Равные хорды одинаково удалены от центра и стягивают равные дуги;

Стягивающие их хорды равны и одинаково удалены от центра.

Если две дуги, меньшие полуокружности, не равны, то большая из них стягивается большей хордой и из обеих хорд большая расположена ближе к центру.

Если дуги равны, то стягивающие их хорды равны и одинаково удалены от центра;

Через вершину треугольникапроведена касательная к описанной окружности

• Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
• Угол, опирающийся на диаметр, — прямой.
• Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной около него окружности.
• Угол между касательной и хордой является предельным случаем вписанного угла и также равен половине дуги, на которую опирается.

Сумма градусных мер двух дуг с общими концами равна 360°

Теоремы о свойствах равенства дуг окружности (прямые). В одном круге или в равных кругах:

O

O

A

A

B

B

C

C

D

D

E

E

F

F

Т

Р

M

Доказательство:

1) Пусть дуга АВ равна дуге ED (рис. слева). Докажем, что АВ = ED и OC = OF. Повернем сектор ОАВ вокруг центра окружности таким образом, чтобы дуга АВ совпала с дугой ED. Тогда точка А совпадет с точкой Е, точка В совпадет с точкой D. Хорда ED совпадет с хордой АВ и перпендикуляр ОС совпадет с перпендикуляром OF, так как из данной точки к прямой можно провести только один перпендикуляр.

2) Пусть дуга АВ меньше дуги ED (рис. справа). Докажем, что АВ < ED и OC > OF. Отложим на дуге ED дугу DP = AB, проведем вспомогательную хорду DP и перпендикуляр к ней OT. Рассмотрим DDOP и DDOE. OD = OP = OE = R. ÈDE > ÈDP Þ ÐDOP < ÐDOE. Против большего угла лежит большая сторона Þ DE > DP. Так как OT∩DE = {M}, рассмотрим DMOF – прямоугольный (OF^DE): OM>OF (гипотенуза больше любого из катетов). OT>OM>OF.

Теоремы о свойствах равенства дуг окружности (обратные). В одном круге или в равных кругах:

D

C

B

M

A

Доказать:

Доказательство:

Проведем диаметр АС и рассмотрим D CАB. По свойству радиуса, проведенного в точку касания, ÐDAC = 90°.

Теоремы о градусной мере углов, связанных с окружностью:

Дата добавления: 2015-04-24