Рассмотрим треугольники СОВ и EOF

Свойство 2. Хорды одной окружности равны тогда и только тогда, когда они равноудалены от центра.

Следствие. Расстояние от центра окружности до хорды равно расстоянию от центра до середины хорды.

Угол, вершина которого лежит вне круга и стороны пересекаются с окружностью, измеряется полуразностью двух дуг, заключенных между его сторонами.

D

D

C

C

B

B

A

A

O

O

K

K

18. Доказать теоремы, выражающие свойства хорд и диаметров окружностей.

E

B

A

O

C

D

Свойство 1. Диаметр перпендикулярен хорде, не являющейся диаметром, тогда и только тогда, когда он проходит через середину хорды.

Дано: О – окружность; DE – диаметр; АВ – хорда;

АВ ∩ DE = {C}. AC = CB.

Доказать: АВ ^ DE.

Доказательство:

1. Соединим концы хорды АВ с центром окружности. ОА = ОВ = R.

2. Рассмотрим равнобедренный треугольник АОВ. (ОА = ОВ = R). ОС – медиана, проведенная к основанию, по условию (АС = СВ) Þ ОС – высота ОС ^ АВ.

Свойство 1 (обратная теорема). Диаметр, перпендикулярный хорде, не являющейся диаметром, проходит через середину хорды.

B

A

O

C

D

E

F

Дано: О – окружность; АВ и CD – хорды;

OC ^ АВ; OF ^ DE.

Доказать: АВ = DE.

Доказательство:

1. Соединим точки В и Е с центром окружности. ОЕ = ОВ = R.

3. BC =EF Þ AB=ED.

Свойство 2 (обратная теорема). Если хорды одной окружности равны, то они равноудалены от центра.

D

B

A

O

E

Свойство 3. Хорды одной окружности равны тогда и только тогда, когда они стягивают равные центральные углы.

Дано: О – окружность; ÐАОВ =ÐDОЕ.

Доказать: АВ = DE.

Доказательство:

1. Соединим концы хорд АВ и DE с центром окружности. OA = OB = ОЕ = ОD = R.

Дата добавления: 2015-04-24