Докажем, что четырехугольник DEFG является квадратом

Теорема об отношении сходственных отрезков в подобных треугольниках. В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны сходственным высотам, сходственным биссектрисам, сходственным медианам.

D₁

D

C

C₁

B

B₁

A₁

A

Так как DABC~DA₁B₁C₁, то ÐA =ÐA₁. DABD~DA₁B₁D₁, так как ÐA =ÐA₁ и ÐАDB = ÐА₁D₁B₁.

D₁

D

C

C₁

B

B₁

A₁

A

Так как DABC~DA₁B₁C₁, то ÐA =ÐA₁ и ÐВ =ÐВ₁. ÐABD =ÐA₁B₁D₁=0,5ÐВ по свойству биссектрисы Þ

D₁

D

C

C₁

B

B₁

A₁

A

Так как DABC~DA₁B₁C₁, то ÐA =ÐA₁, по свойству медиан. DABD~DA₁B₁D₁, так как ÐA =ÐA₁ и Þ

20. Доказать теорему Пифагора и ей обратную.

G

F

E

Q

Р

M

D

N

C

B

А

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Доказательство:

1). Пусть Т – прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой с.

2). Построим квадрат K со стороной a + b. На сторонах квадрата отметим точки D, E, F, G так, чтобы отрезки DE, EF, FG, GD отсекали от квадрата K прямоугольные треугольники Т₁, Т₂, Т₃ и Т₄ с катетами a и b.

3). Все прямоугольные треугольники Т₁, Т₂, Т₃ и Т₄ равны треугольнику Т (по двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузе треугольника Т. Следовательно DE = EF = FG = GD.

Дата добавления: 2015-04-24