Матрица Якоби системы функций нескольких переменных

Матрица Якоби – матрица частных производных:

В матричной форме разложение системы функций в ряд Тейлора можно записать в виде:

Пусть – решение задачи

x – точка, относительно которой осуществляется разложение в ряд Тейлора.

Пусть – значение вектора, полученного на итерации номер n.

Получаем уравнение:

– итерационное уравнение метода Ньютона.

– номер итерации
38. Решение нелинейных уравнений методом простой итерации.

В этом методе искомая система уравнений записывается в виде .

Итерационная процедура строится в соответствии с уравнением:

Алгоритм этой процедуры:

Условие сходимости простых итераций к решению:

если отображение является сжимающим, то уравнение имеет единственное решение , а расстояние между точным решением

Расстоянием между двумя векторами называется функция, удовлетворяющая условиям:

1)

2)

3) неравенство треугольника:

Отображение называется сжимающим, если для любых двух векторов и расстояние между их отображениями .

Доказательство теоремы сходимости простой итерации

– вектор, полученный на n -ой итерации.

Доказательство единственности решения осуществляется методом от противного:

Примем, что существует два решения:

Расстояние между этими векторами:

Приходим к противоречию, поэтому вынуждены признать, что решение является единственным.

Геометрическая интерпретация простой итерации – функция одной переменной

Интерполяционный процесс не сходится.

Можно показать, что в этих двух случаях отображение является сжимающим.

При использовании метода простых итераций для обеспечения сходимости можно использовать различные способы перехода от системы уравнений к системе .

Дата добавления: 2015-04-24