Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Необходимые и достаточные условия минимума и максимума функции многих переменных




Необходимые и достаточные условия экстремума функции нескольких
(двух) переменных

Рассмотрим функцию , где -- открытое множество.

Определение 1. называется точкой максимума (минимума) функции , если

Аналогично если выполняется строгое неравенство, точка называется точкой строгого максимума (строгого минимума).

Теорема 1. (необходимое условие экстремума) Если -- точка экстремума и существует , то .

Определение 2. -- стационарная точка функции , если -- дифференцируема в этой точке и , или -- не дифференцируема в этой точке.

Замечание 1. Квадратичная форма -- многочлен вида , -- положительно определена, если на положительных переменных она принимает положительные значения. Для квадратичных форм существует критерий Сильвестра: форма положительно определена, если все главные миноры ее матрицы положительны. Форма отрицательно определена, если положительно определена. Тогда главные миноры меняют знак, начиная с минуса.

Теорема 2. (достаточное условие экстремума) Если дважды дифференцируема в стационарной точке , то -- точка минимума (максимума), если квадратичная форма положительно (отрицательно) определена. Если эта форма не определена, то экстремума в этой точке нет. Если она вырождена, то неизвестно, является ли точкой экстремума.

Замечание 2. В случае двух переменных матрица квадратичной формы имеет вид . Тогда если , то для положительной определенности достаточно -- тогда имеется минимум. Если же , то достигается максимум. Если же , то ничего сказать нельзя.





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-04-24; Просмотров: 642; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.