Решение задачи Коши методом неопределенных коэффициентов

Явные формулы Адамса.

Формулы Адамса получаются при интегрировании интерполяционного многочлена от до т.е. вне интервала интерполяции. Однако, как мы знаем, вне этого интервала интерполяционный многочлен обычно дает довольно плохое приближение. Таким образом, явные методы Адамса не очень точны.

Воспользуемся методом неопределённых коэффициентов. Будем искать решение дифференциального уравнения в виде полинома:

его первая производная:

Заметим, что . Вычислим эти коэффициенты, подставив начальные условия в исходное уравнение:

следовательно,

Для разложения логарифмической функции используем эталонный ряд:

Преобразовав его, имеем

где .

В левой части уравнения получим очевидное равенство: , и для краткости записи обозначим ; уравнение примет вид: .

Теперь подставляем в обе части дифференциального уравнения вместо у и соответствующие полиномы, учитывая, что :

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях z в левой и правой частях равенства, причём в правой части предварительно надо найти произведение двух рядов, затем решаем полученную систему уравнений:

Подставляя все найденные коэффициенты в полином, получаем искомое решение задачи Коши:

35. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера.

Метод Эйлера представляет собой аппроксимации производной разделенной разностью первого порядка.

Отсюда получим разностное уравнение:

– интервал интегрирования дифференциального уравнения.

Уравнение Эйлера и формулы Адамса определяется посредством приближения интеграла в интегральном уравнении, эквивалентном дифференциальному уравнению, с помощью соответствующих квадратурных формул.

Дифференциальное уравнение может быть представлено эквивалентным интегральным уравнением:

Задача заключается в построении квадратурной формулы для этого интервала.

Простейшая формула – формула прямоугольника.

Формула прямоугольника на интервале :

В этом случае имеет место формула Эйлера.

Точность формулы Эйлера имеет величину, пропорциональную квадрату шага дискретизации.

Более точная формула получится с помощью формулы трапеции:

Тогда расчетная формула принимает вид:

Эта формула является нелинейной по искомому значению функции в конце интервала.

Точность этой формулы имеет величину второго порядка .

На практике, чтобы преодолеть эту сложность, значение в конце интервала в правой части уравнения заменяется на значение функции по формуле Эйлера.

При этом, алгоритм решения задачи принимает вид:

цикл

Второй подход к решению этой проблемы основывается на итерациях по значению функции в конце интервалов.

цикл

На практике:

Дата добавления: 2015-04-24