Квадратурные формулы Гаусса. Наиболее распространенные формулы

Задачи построения квадратурной формулы Гаусса с n узлами заключается в решении задачи оптимизации, в рамках которой, квадратурная формула должна быть точной для любых многочленов в максимально возможной степени.

Неизвестными коэффициентами являются как коэффициенты квадратурной формулы, так и ее узлы.

– коэффициенты квадратурной формулы

Число независимых переменных равно .

Число коэффициентов:

Если квадратурная формула является точной для многочлена степени n, то она является точной и для всех степеней переменной x.

1) Квадратурные Гаусса формулы — формулы вида

в которых узлы x_k и коэффициенты A_k не зависят от функции f (x) и выбраны так, что формула точна (т. е. R_n = 0) для произвольного многочлена степени 2n - 1. В отличие от квадратурных формул Ньютона — Котеса, узлы в квадратурных Гаусса формулы, вообще говоря, не являются равноотстоящими. Если р (х) ³ 0 и

то для любого натурального n имеется единственная квадратурная Гаусса формулы Эти формулы имеют большое практическое значение, т.к. в ряде случаев они дают значительно большую точность, чем квадратурные формулы с тем же числом равноотстоящих узлов. Сам Гаусс исследовал (1816) случай р (х) º 1.

2) Гаусса формулы, выражающая полную кривизну К поверхности через коэффициенты её линейного элемента; в координатах, для которых ds² = l(du² + dv²), Гаусса формулы имеет вид

Эта формула была опубликована в 1827 и показывает, что полная кривизна не меняется при изгибании поверхности. Она составляет содержание одного из основных предложений созданной Гауссом внутренней геометрии поверхности.

3) Гаусса формулы для сумм Гаусса:

Эта формула была использована Гауссом (1801) в одном из доказательств закона взаимности квадратичных вычетов

Дата добавления: 2015-04-24