Метод Гаусса

Если мы можем выбирать точки, в которых мы вычисляем значения функции f (x), то можно при том же количестве вычислений подынтегральной функции получить методы более высокого порядка точности. Так для двух (как в методе трапеций) вычислений значений подынтегральной функции, можно получить метод уже не 2-го, а 3-го порядка точности:

.

В общем случае, используя n точек, можно получить метод с порядком точности 2 n − 1. Значения узлов метода Гаусса по n точкам являются корнями полинома Лежандра степени n.

Значения узлов метода Гаусса и их весов приводятся в справочниках специальных функций. Наиболее известен метод Гаусса по пяти точкам.

Методы Монте-Карло:

Для определения площади под графиком функции можно использовать следующий стохастический алгоритм:

ограничим функцию прямоугольником (n -мерным параллелепипедом в случае многих измерений), площадь которого S_par можно легко вычислить;

«набросаем» в этот прямоугольник (параллелепипед) некоторое количество точек (N штук), координаты которых будем выбирать случайным образом;

определим число точек (K штук), которые попадут под график функции;

площадь области, ограниченной функцией и осями координат, S даётся выражением

Для малого числа измерений интегрируемой функции производительность Монте-Карло интегрирования гораздо ниже, чем производительность детерминированных методов. Тем не менее, в некоторых случаях, когда функция задана неявно, а необходимо определить область, заданную в виде сложных неравенств, стохастический метод может оказаться более предпочтительным.

Дата добавления: 2015-04-24