Численное интегрирование интерполяционными методами

III. Формула прямоугольников, как формула с кратным узлом

II. Формула трапеций

Число узлов , узлы располагаются в точках

Получим квадратурную формулу:

Кратным узлом трапеции называется узел, в котором задается не только значение функции, но и значения некоторого числа его производных.

Интерполяционная функция, в которой используются как значения самой функции, так и значения некоторого числа ее производных, называется формулой Эрмита.

Квадратурная формула принимает вид:

Формула Симпсона получается методом интерполяции при следующих параметрах:

.

Одномерный случай:

Основная идея большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции на более простую, интеграл от которой легко вычисляется аналитически. При этом для оценки значения интеграла получаются формулы вида

где — число точек, в которых вычисляется значение подынтегральной функции. Точки называются узлами метода, числа — весами узлов. При замене подынтегральной функции на полином нулевой, первой и второй степени получаются соответственно методы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона). Часто формулы для оценки значения интеграла называют квадратурными формулами.

Дата добавления: 2015-04-24